[论文解读] Quantum theory as inductive inference

Ryszard Paweł Kostecki|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 77被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于代数积分、信息几何和最大相对熵的量子理论与概率论的基础性重构，用抽象的 $W^*$-代数和正线性泛函取代希尔伯特空间与测度空间。通过约束熵最大化推导出量子运动学与动力学，将标准量子力学作为特殊情况恢复，同时提供一种无本体论承诺的关系性、互主体性解释。

ABSTRACT

We present the elements of a new approach to the foundations of quantum theory and probability theory which is based on the algebraic approach to integration, information geometry, and maximum relative entropy methods. It enables us to deal with conceptual and mathematical problems of quantum theory without any appeal to frameworks of Hilbert spaces and measure spaces.

研究动机与目标

• 开发一种独立于希尔伯特空间与测度空间的量子理论基础。
• 利用Daniell–Stone积分框架，解决概率论中的基础性矛盾（例如，贝叶斯–拉普拉斯与波莱尔–柯尔莫哥洛夫之间的矛盾）。
• 通过在 $W^*$-代数上对量子相对熵进行约束最大化，建立量子运动学与动力学。
• 提供一种关系性、互主体性的量子理论解释，避免操作主义与实在论的承诺。
• 通过与 $L_2(\mathcal{N})$ 空间的同构，将标准量子力学作为所提框架的特殊情况恢复。

提出的方法

• 用抽象的交换与非交换 $C^*$-代数上的积分，取代波莱尔–柯尔莫哥洛夫的概率基础。
• 利用向量格上的Daniell–Stone积分理论，解决经典概率论基础中的不一致性。
• 为有限正积分空间配备非对称的信息偏差（负的相对熵），以定义信息几何。
• 引入一族 $D_p$ 的相对熵泛函作为量子Bregman熵，在 $\mathcal{M}(\mathcal{N})$ 上诱导出优选的信息几何。
• 通过约束最大化 $D_p$ 定义量子动力学，解释为信息几何中的非线性投影。
• 通过 $L_2(\mathcal{N})$ 与Haagerup标准表示及GNS构造的同构，重建标准希尔伯特空间量子力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子理论能否在不依赖希尔伯特空间或测度论概率的前提下被重构？
• RQ2 信息几何与相对熵如何为经典与量子理论提供统一的基础？
• RQ3 $D_p$ 相对熵族在定义优选量子信息几何中起什么作用？
• RQ4 在缺乏幺正演化的情况下，约束熵最大化如何生成动力学？
• RQ5 能否在不包含本体论或操作主义承诺的前提下，形式化量子理论的关系性、互主体性解释？

主要发现

• 量子信息模型 $\mathcal{M}(\mathcal{N})$ 被定义为 $W^*$-代数 $\mathcal{N}$ 上的正规正有限线性泛函子集，取代了运动学中希尔伯特空间的角色。
• $L_2(\mathcal{N})$ 空间与Haagerup的标准表示及任意忠实态下的GNS构造之间存在酉同构，从而实现标准量子力学的重建。
• 由约束熵最大化导出的映射 $\mathfrak{P}^{D_{\gamma}}_{F(t)}(\omega_0)$ 提供了一种非线性投影，用于建模时间上的信息动力学。
• $D_p$ 一族量子相对熵对应于非交换的 $L_p(\mathcal{N})$ 空间，并在 $\mathcal{M}(\mathcal{N})$ 上诱导出优选的信息几何。
• ‘测量系统’的概念仅作为张量积分解重新引入，具有纯粹认识论意义，不承担基础性角色。
• 该方法消除了对‘粒子’、‘场’或‘宇宙’等术语的本体论承诺，代之以可互为主体验证的实验设计。