[论文解读] Quantum Theory for the Binomial Model in Finance Theory

Zeqian Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 15

一句话总结

本文提出了一种金融二项式市场的量子模型，表明其风险中性世界在 R³ 中的单位球内形成一个圆盘，其半径取决于无风险利率和两个防止套利的阈值。通过将 N 个可区分的量子粒子应用麦克斯韦-玻尔兹曼统计，作者重新推导出考克斯-罗斯-卢宾二项式期权定价公式，为经典期权定价建立了量子基础。

ABSTRACT

In this paper, a quantum model for the binomial market in finance is proposed. We show that its risk-neutral world exhibits an intriguing structure as a disk in the unit ball of ${\bf R}^3,$ whose radius is a function of the risk-free interest rate with two thresholds which prevent arbitrage opportunities from this quantum market. Furthermore, from the quantum mechanical point of view we re-deduce the Cox-Ross-Rubinstein binomial option pricing formula by considering Maxwell-Boltzmann statistics of the system of $N$ distinguishable particles.

研究动机与目标

• 开发金融二项式市场模型的量子力学框架。
• 探讨量子力学是否能为风险中性估值和期权定价提供更深层次的基础。
• 通过量子统计力学重新推导经典考克斯-罗斯-卢宾二项式期权定价公式。
• 研究量子二项式模型中风险中性世界的几何结构。

提出的方法

• 使用泡利矩阵在二维希尔伯特空间中将股票收益率建模为量子算符 R。
• 将风险中性态定义为满足预期收益率与无风险利率相关联的条件的密度矩阵。
• 使用 N 个可区分粒子的麦克斯韦-玻尔兹曼统计计算上涨/下跌变动的概率分布。
• 应用风险中性估值原理，将期权价格表示为量子态上的期望值。
• 将期权价格导出为包含二项式系数和概率的求和形式，从而得出标准的考克斯-罗斯-卢宾公式。
• 探讨玻色-爱因斯坦统计作为同一定价问题的替代量子统计模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 金融二项式市场模型能否以量子力学而非经典概率论一致地描述？
• RQ2 量子二项式市场模型中风险中性世界的几何结构是什么？
• RQ3 使用量子统计（麦克斯韦-玻尔兹曼）如何导出经典考克斯-罗斯-卢宾期权定价公式？
• RQ4 风险中性圆盘半径中的阈值在防止套利中起什么作用？
• RQ5 量子模型在处理期权价值对上涨/下跌概率的依赖性方面与经典模型有何不同？

主要发现

• 量子二项式市场的风险中性世界在 R³ 的单位球内形成一个圆盘，其半径由无风险利率和两个防止套利的关键阈值决定。
• 通过将多期市场建模为服从麦克斯韦-玻尔兹曼统计的 N 个可区分量子粒子系统，重新推导出考克斯-罗斯-卢宾二项式期权定价公式。
• 期权价格表达为二项式概率的求和，其中风险中性概率 q = (r−a)/(b−a) 自然地从量子态条件中浮现。
• 推导出的公式与经典结果一致：C₀^N = S₀Ψ(τ;N,q') − K(1+r)^−NΨ(τ;N,q)，其中 Ψ 为互补二项分布函数。
• 通过玻色-爱因斯坦统计推导出另一种定价公式，得到路径上的归一化概率分布，表明期权定价具有不同的量子统计基础。
• 量子模型为风险中性测度提供了几何和物理解释，将其与布洛赫球和量子态空间的几何结构联系起来。