[论文解读] Quantum tomography using state-preparation unitaries

Joran van Apeldoorn, Arjan Cornelissen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种高效的量子算法，用于在可访问态制备酉及其逆的条件下进行量子态层析。该方法在纯态和混合态下均实现了最优的查询复杂度，表明对于纯态的ℓ2-近似，d/ε次查询已足够；对于秩为r的混合态的迹范数估计，仅需dr/ε次查询，显著优于以往方法所需的ε⁻²量级。

ABSTRACT

We describe algorithms to obtain an approximate classical description of a $d$-dimensional quantum state when given access to a unitary (and its inverse) that prepares it. For pure states we characterize the query complexity for $\ell_q$-norm error up to logarithmic factors. As a special case, we show that it takes $\widetildeΘ(d/\varepsilon)$ applications of the unitaries to obtain an $\varepsilon$-$\ell_2$-approximation of the state. For mixed states we consider a similar model, where the unitary prepares a purification of the state. In this model we give an efficient algorithm for obtaining Schatten $q$-norm estimates of a rank-$r$ mixed state, giving query upper bounds that are close to optimal. In particular, we show that a trace-norm ($q=1$) estimate can be obtained with $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon)$ queries. This improves (assuming our stronger input model) the $\varepsilon$-dependence over the algorithm of Haah et al.\ (2017) that uses a joint measurement on $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon^2)$ copies of the state. To our knowledge, the most sample-efficient results for pure-state tomography come from setting the rank to $1$ in generic mixed-state tomography algorithms, which can be computationally demanding. We describe sample-optimal algorithms for pure states that are easy and fast to implement. Along the way we show that an $\ell_\infty$-norm estimate of a normalized vector induces a (slightly worse) $\ell_q$-norm estimate for that vector, without losing a dimension-dependent factor in the precision. We also develop an unbiased and symmetric version of phase estimation, where the probability distribution of the estimate is centered around the true value. Finally, we give an efficient method for estimating multiple expectation values, improving over the recent result by Huggins et al.\ (2021) when the measurement operators do not fully overlap.

研究动机与目标

• 开发一种在可访问态制备酉及其逆的条件下，高效重构量子态的量子算法。
• 将量子态层析的查询复杂度降低至低于传统基于复制的方法所呈现的ε⁻²依赖关系。
• 在更强的输入模型下，为纯态与混合态提供样本最优的算法。
• 通过利用结构化的查询访问，改进对多个可观测量的期望值估计。

提出的方法

• 利用振幅估计与一种新颖的对称且无偏的相位估计算法，以减少误差对参数的依赖。
• 采用带定制预放大处理的块编码方法，高效估计多个期望值。
• 应用向量范数转换引理，将ℓ∞-范数估计与ℓq-范数及Schatten q-范数估计关联，且不损失与维度相关的精度。
• 提出一种方法，通过利用纯化与振幅估计，在eO(dr/ε)次查询内估计秩为r的混合态的Schatten 1-范数（迹范数）。
• 引入一种技术，通过eO(√‖∑j E²j‖ / ε)次查询估计多个归一化算符Ej的期望值，当算符之间存在重叠时，优于以往的界。
• 利用与密度矩阵元素成比例的概率分布，通过该分布的ℓ2-近似实现Frobenius范数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用态制备酉时，是否可以实现与1/ε²无关的量子态层析查询复杂度？
• RQ2 在酉态制备模型下，纯态的ℓ2-范数估计最优查询复杂度是多少？
• RQ3 当使用纯化与酉访问时，混合态层析能否以o(1/ε²)次查询实现迹范数误差？
• RQ4 当测量算符并非完全重叠时，如何比现有方法更高效地估计多个期望值？
• RQ5 是否可以通过POVM类构造减少对算符范数依赖的查询复杂度？

主要发现

• 对于纯态，eΘ(d/ε)次查询足以实现对态的ε-ℓ2-近似，优于经典方法与基于复制的方法。
• 对于秩为r的混合态，可通过eO(dr/ε)次查询实现迹范数估计，其复杂度与猜想的最优量级仅相差对数因子。
• 相较于Haah等人（2007年）的工作，该方法将ε依赖关系从ε⁻²降低至ε⁻¹，前提是可访问制备纯化的酉操作。
• 开发了一种无偏且对称的相位估计算法，确保估计分布以真实值为中心。
• 多个归一化算符Ej的期望值可借助eO(√‖∑j E²j‖ / ε)次查询进行估计，当算符存在重叠时，优于以往方法。
• 提出一种方法，通过近似与密度矩阵元素成比例的概率分布，实现Frobenius范数估计，实现eO(d/ε²)次样本用于Frobenius范数估计。