[论文解读] Quantum total detection probability from repeated measurements II. Exploiting symmetry

Felix Thiel, Itay Mualem+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文研究对称图上量子首次通过过程的总探测概率，表明由于存在暗态，对称性导致探测概率低于1。通过利用探测态的稳定子子群识别物理等价的初始态，作者推导出 $P_{\text{det}}$ 的上界为 $1/\nu$，其中 $\nu$ 为这类态的数量，并证明可通过对称化哈密顿量的对角化计算 $P_{\text{det}}$。

ABSTRACT

A quantum walker on a graph, prepared in the state $| ψ_{ m in} angle$, e.g. initially localized at node $r_{ m in}$, is repeatedly probed, with fixed frequency $1/τ$, to test its presence at some target node $r_{ m d}$ until the first successful detection. This is a quantum version of the first-passage problem. We investigate the total detection probability $P_{ m det}$, i.e. the probability to eventually detect the particle after an arbitrary number of detection attempts. It is demonstrated that this total detection probability is less than unity in symmetric systems, where it is possible to find initial states which are shielded from the detector by destructive interference, so-called dark states. The identification of physically equivalent initial states yields an upper bound for $P_{ m det}$ in terms of the reciprocal of the number $ν$ of physically equivalent states. The relevant subgroup of the system's symmetry operations is found to be the stabilizer of the detection state. Using this, we prove that all bright, i.e. surely detectable, states are symmetric with respect to the stabilizer. This implies that $P_{ m det}$ can be obtained from a diagonalization of the "symmetrized" Hamiltonian, instead of having to find all eigenstates of the Hamiltonian.

研究动机与目标

• 理解为何在对称量子系统中总探测概率 $P_{\text{det}}$ 低于1，原因在于干扰相消。
• 阐明对称性在生成逃避探测的暗态中的作用。
• 基于物理等价初始态的数量，推导 $P_{\text{det}}$ 的一般上界。
• 证明可通过对称化哈密顿量计算 $P_{\text{det}}$，从而降低计算复杂度。
• 形式化群对称性、简并性与量子首次通过过程中可探测性之间的联系。

提出的方法

• 识别探测态 $\ket{\psi_{\text{d}}}$ 的稳定子子群，即保持 $\ket{\psi_{\text{d}}}$ 不变的对称操作集合。
• 将物理等价的初始态定义为通过稳定子子群元素关联的态，其数量记为 $\nu$。
• 利用群表示理论证明探测振幅中的相位因子对应于稳定子表示的特征标。
• 构造对称投影算符 $\hat{P}_{\cal S}$，将其投影到初始态的对称子空间。
• 证明 $P_{\text{det}}$ 由初始态与对称化哈密顿量本征态的重叠决定。
• 证明 $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$，且当初始态位于对称子空间时等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何量子图中的对称性导致总探测概率低于1？
• RQ2 如何利用物理等价初始态的数量 $\nu$ 来界定 $P_{\text{det}}$？
• RQ3 在何种条件下上界 $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$ 达到饱和？
• RQ4 探测态的稳定子子群如何决定可探测态的结构？
• RQ5 是否可使用简化后的对称化哈密顿量而非完整的谱分解来计算总探测概率？

主要发现

• 总探测概率 $P_{\text{det}}$ 的上界为 $1/\nu$，其中 $\nu$ 为探测态稳定子子群下物理等价初始态的数量。
• 对于大小为 $L$ 的环，探测目标为动量本征态 $\ket{E_k}$ 时，当 $k \neq 0, L/2$，有 $P_{\text{det}} = 1/L$，验证了上界 $1/\nu = 1/L$。
• 当探测态为 $\ket{E_{L/2}}$ 时，整个对称群稳定该态，但 $\nu = L$ 依然成立，且 $P_{\text{det}} = 1/L$ 保持不变。
• 任意初始态的探测概率为 $P_{\text{det}} = |\braket{\psi_{\text{in}}}{E_{k_{\text{d}}}}|^2$，表明探测仅依赖于与探测本征态的重叠。
• 对称投影算符 $\hat{P}_{\cal S}$ 投影到对称初始态子空间，$P_{\text{det}}$ 可通过对称化哈密顿量的对角化计算。
• 探测振幅中的相位因子被证明等于探测空间上稳定子表示的特征标，从而将群论与量子探测联系起来。