[论文解读] Quantum variational PDE solver with machine learning

Jaewoo Joo, H. Moon|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一种混合量子-经典算法——量子变分PDE求解器（QuVa），利用机器学习通过变分量子线路求解非线性偏微分方程（PDEs）。通过仅测量控制量子比特来估算对应于PDE的量子算符的期望值，并利用机器学习优化变分参数，该方法在三量子比特量子系统上实现了对二阶PDE的高保真度求解，展示了在复杂数学与量子化学问题中协同求解的潜力。

ABSTRACT

To solve nonlinear partial differential equations (PDEs) is one of the most common but important tasks in not only basic sciences but also many practical industries. We here propose a quantum variational (QuVa) PDE solver with the aid of machine learning (ML) schemes to synergise two emerging technologies in mathematically hard problems. The core quantum processing in this solver is to calculate efficiently the expectation value of specially designed quantum operators. For a large quantum system, we only obtain data from measurements of few control qubits to avoid the exponential cost in the measurements of the whole quantum system and optimise a pathway to find possible solution sets of the desired PDEs using ML techniques. As an example, a few different types of the second-order DEs are examined with randomly chosen samples and a regression method is implemented to chase the best candidates of solution functions with another trial samples. We demonstrated that a three-qubit system successfully follows the pattern of analytical solutions of three different DEs with high fidelity since the variational solutions are given by a necessary condition to obtain the exact solution of the DEs. Thus, we believe that final solution candidate sets are efficiently extracted from the QuVa PDE solver with the support of ML techniques and this algorithm could be beneficial to search for the solutions of complex mathematical problems as well as to find good ansatzs for eigenstates in large quantum systems (e.g., for quantum chemistry).

研究动机与目标

• 解决在高维空间中求解非线性偏微分方程（PDEs）的计算挑战，其中经典方法面临指数级缩放问题。
• 通过集成经典机器学习进行参数优化，克服纯量子处理的局限性，如高测量成本和难以设计精确的量子算符。
• 通过将变分量子处理与来自部分测量的统计数据的古典优化相结合，实现对复杂PDE的高效求解搜索。
• 展示利用机器学习与变分量子线路结合，以高保真度近似求解二阶微分方程的可行性。

提出的方法

• QuVa求解器使用变分量子线路将解函数编码为量子态，变分参数嵌入在量子线路的构造中。
• 量子处理通过仅对控制量子比特进行测量，避免完整系统测量的开销，计算对应于PDE的总量子算符 $\hat{\cal{O}}^{\text{tot}}$ 的期望值。
• 机器学习方案处理来自量子测量的统计结果，迭代优化变分参数集 $\{\bar{\lambda}\}$。
• 该方法采用受控酉门和辅助量子比特来制备目标量子态，并使用块-SWAP门计算量子态之间的重叠保真度。
• 通过CNOT门和对辅助量子比特的测量引入人工退相干，制备用于计算PDE中非线性和势能项的混合密度矩阵。
• 该算法在试验样本上使用回归技术，识别最佳解候选函数，以最小化PDE中的残差误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合量子-经典变分方法是否能仅通过在小型量子处理器上进行部分测量，高效求解非线性二阶PDE？
• RQ2 机器学习技术在量子PDE求解器中优化变分参数的效率如何，能否有效降低测量成本并提高解的保真度？
• RQ3 三量子比特量子系统在该变分框架下，能在多大程度上重现不同二阶PDE的解析解？
• RQ4 通过块-SWAP操作计算的量子态之间重叠保真度，能否作为PDE求解器中解质量的可靠度量？

主要发现

• QuVa PDE求解器成功在三量子比特量子系统上实现了对三种不同类型二阶微分方程的高保真度求解。
• 变分解与PDE的解析解相匹配，证实该方法满足精确解的必要条件。
• 通过仅测量控制量子比特并利用机器学习优化参数，该方法相比完整系统态层析技术显著降低了量子测量成本。
• 人工退相干的使用使得能够制备计算PDE中非线性和势能项所需的混合态。
• 基于回归的优化方法在试验样本上有效识别了最佳候选解函数，展示了机器学习在引导PDE解搜索方面的可行性。
• 块-SWAP门操作实现了重叠保真度的精确计算，该指标在验证解候选时发挥了关键作用。