[论文解读] Quantum vertex algebras and their phi-coordinated quasi modules

Haisheng Li|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的量子顶点代数框架，采用 $φ$-协调拟模，其中 $φ$ 是一维加法形式群的关联量。通过将 $φ$ 特殊化为 $xe^z$，作者从量子仿射代数构造了弱量子顶点代数，并建立了 $φ$-协调模与量子 $β\gamma$-系统受限模之间的对应关系，从而填补了量子顶点代数理论中的一个关键空白。

ABSTRACT

We develop a theory of $ϕ$-coordinated (quasi) modules for a nonlocal vertex algebra and we establish a conceptual construction of nonlocal vertex algebras and their $ϕ$-coordinated (quasi) modules, where $ϕ$ is what we call an associate of the one-dimensional additive formal group. By specializing $ϕ$ to a particular associate, we obtain a new construction of weak quantum vertex algebras in the sense of \cite{li-qva1}. As an application, we associate weak quantum vertex algebras to quantum affine algebras, and we also associate quantum vertex algebras and $ϕ$-coordinated modules to a certain quantum $βγ$-system.

研究动机与目标

• 为解决与量子仿射代数相关的量子顶点代数的构造问题（正如顶点代数与仿射李代数相关联一样）。
• 为非局部顶点代数发展 $φ$-协调（拟）模的一般理论，扩展顶点代数模理论。
• 通过形式群关联量，实现非局部顶点代数及其 $φ$-协调（拟）模的观念性构造。
• 证明将 $φ$ 特殊化为 $xe^z$ 可得到弱量子顶点代数，从而实现弱量子顶点代数与量子仿射代数的系统关联。

提出的方法

• 引入 $φ$ 作为一维加法形式群 $F_a(x,y) = x+y$ 的关联量，满足 $φ(x,0) = x$ 且 $φ(φ(x,y),z) = φ(x,y+z)$。
• 利用 $φ$-扭操作的生成函数，定义广义顶点算子操作 $Y_{\mathcal{E}}^\phi(a(x),z)b(x) = [a(x_1)b(x)]_{x_1 = \phi(x,z)}$。
• 在 $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ 操作下，从 ${\mathcal{E}}(W) = \text{Hom}(W,W((x)))$ 的拟相容子集构造非局部顶点代数。
• 引入 $φ$-协调（拟）模的概念，将所构造的非局部顶点代数与空间 $W$ 关联起来。
• 定义 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局部和拟 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局部子集，以捕捉量子仿射代数的关系。
• 证明当 $\phi(x,z) = xe^z$ 时，此类子集在 $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ 下生成弱量子顶点代数，从而与量子仿射代数及量子 $β\gamma$-系统建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非局部顶点代数发展一种广义模理论，以捕捉量子对称性？
• RQ2 使用形式群关联量 $\phi$ 是否能实现弱量子顶点代数的一致构造？
• RQ3 能否通过 $φ$-协调模系统地将弱量子顶点代数与量子仿射代数关联？
• RQ4 是否存在量子顶点代数的 $φ$-协调模与量子 $β\gamma$-系统受限模之间的对应关系？

主要发现

• 对于任意拟相容子集 $U \subset \mathcal{E}(W)$，操作 $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ 生成一个以 $W$ 为 $\phi$-协调拟模的非局部顶点代数。
• 当 $\phi(x,z) = xe^z$ 时，$\mathcal{E}(W)$ 的每个拟 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局部子集在 [Li3] 意义下生成一个弱量子顶点代数。
• 在大衛龍实现中，量子仿射代数生成一个拟 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局部子集，因此通过 $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ 与 $\phi(x,z) = xe^z$ 生成一个弱量子顶点代数。
• 量子 $β\gamma$-系统 $V_q(\beta\gamma)$ 同构于由两个满足结构函数 $p(x) = (e^{-x/2} - q e^{x/2})/(1 - q)$ 的任意任何交换关系的向量生成的普遍弱量子顶点代数。
• 当 $\phi(x,z) = xe^z$ 时，$W$ 上的 $φ$-协调 $V_q(\beta\gamma)$-模结构与 $W$ 上的受限 $A_q^{\text{trig}}(\beta\gamma)$-模结构之间存在一一对应。
• 当 $q \neq 1$ 时，量子顶点代数 $V_q(\beta\gamma)$ 是不可约的，此结论通过 [KL] 的普遍性结果及 $p(x)$ 满足 $p(0) = 1$ 的结构得以证明。