[论文解读] Quantum vs. Classical Communication and Computation

Harry Buhrman, Richard Cleve+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 84

一句话总结

本文提出了一种通用的模拟技术，可将黑箱量子算法转换为量子通信协议，利用量子并行性在量子与经典通信复杂性之间实现渐近分离。在有界误差模型中实现了二次分离，在零误差模型中实现了指数分离，同时推导出新的下界，表明在有界误差条件下，Grover 的二次加速对 PARITY 或 MAJORITY 问题不可能实现。

ABSTRACT

We present a simple and general simulation technique that transforms any black-box quantum algorithm (a la Grover's database search algorithm) to a quantum communication protocol for a related problem, in a way that fully exploits the quantum parallelism. This allows us to obtain new positive and negative results. The positive results are novel quantum communication protocols that are built from nontrivial quantum algorithms via this simulation. These protocols, combined with (old and new) classical lower bounds, are shown to provide the first asymptotic separation results between the quantum and classical (probabilistic) two-party communication complexity models. In particular, we obtain a quadratic separation for the bounded-error model, and an exponential separation for the zero-error model. The negative results transform known quantum communication lower bounds to computational lower bounds in the black-box model. In particular, we show that the quadratic speed-up achieved by Grover for the OR function is impossible for the PARITY function or the MAJORITY function in the bounded-error model, nor is it possible for the OR function itself in the exact case. This dichotomy naturally suggests a study of bounded-depth predicates (i.e. those in the polynomial hierarchy) between OR and MAJORITY. We present black-box algorithms that achieve near quadratic speed up for all such predicates.

研究动机与目标

• 建立量子黑箱算法与量子通信复杂性之间的正式联系。
• 证明对于特定问题，量子通信协议可相对于经典协议实现渐近优势。
• 通过将通信复杂性下界归约为黑箱模型，推导出量子计算的新下界。
• 研究 OR、PARITY 和 MAJORITY 等基本布尔函数的量子加速极限。
• 探讨多项式层次中具有有界深度的谓词及其在量子计算复杂性中的行为。

提出的方法

• 提出一种通用的模拟技术，可将任意黑箱量子算法映射为保持量子并行性的量子通信协议。
• 利用量子算法的结构（如 Grover 搜索）构建 Equality、Inner Product 和 Disjointness 等问题的通信协议。
• 将已知的量子算法（如 Grover 算法）应用于通信问题，推导出通信成本更低的新量子协议。
• 使用幅度放大和相位估计算法技术，以有界误差近似量子门，确保保真度在 ε 以内。
• 将通信复杂性问题归约为黑箱计算问题，以推导出量子查询复杂性的下界。
• 利用深度-d 布尔电路的结构，将结果推广至多项式层次中的谓词，并应用递归近似技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子通信协议能否在总函数上相对于经典协议实现渐近优势？
• RQ2 在有界误差模型中，Grover 算法对 PARITY 和 MAJORITY 等函数的二次加速是否可实现？
• RQ3 经典与量子通信复杂性模型之间可能的最大分离程度是多少？
• RQ4 能否利用通信复杂性下界推导出黑箱量子计算模型中的非平凡下界？
• RQ5 多项式层次中具有有界深度的谓词在量子查询复杂性下如何表现？

主要发现

• 在有界误差模型中，实现了经典与量子通信复杂性之间的二次分离，证明了量子优势的存在。
• 在零误差模型中，建立了经典与精确量子通信复杂性之间的指数分离，该结果在常数因子范围内为最优。
• 证明了在有界误差模型中，Grover 算法对 OR 的二次加速无法在 PARITY 和 MAJORITY 上实现。
• 对于 OR 函数，不存在精确的量子算法能实现超过常数因子的加速，确认了量子优势的局限性。
• 通过黑箱量子算法，对所有有界深度谓词（多项式层次中）实现了近乎二次的加速。
• 该模拟技术可推导出紧致的下界，后续研究已证实 PARITY 和 MAJORITY 的最优性。