[论文解读] Quantum vs. Classical Read-once Branching Programs

Martin Sauerhoff|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文首次为非遗忘型量子读一次分支程序建立了非平凡的上下界，证明了量子与经典模型在计算能力上不可比较：量子程序可在特定总函数上比经典随机程序指数级更快求解，而对集合不相交函数则需指数级大小，尽管经典确定性OBDD可在线性大小内求解该问题。

ABSTRACT

The paper presents the first nontrivial upper and lower bounds for (non-oblivious) quantum read-once branching programs. It is shown that the computational power of quantum and classical read-once branching programs is incomparable in the following sense: (i) A simple, explicit boolean function on 2n input bits is presented that is computable by error-free quantum read-once branching programs of size O(n^3), while each classical randomized read-once branching program and each quantum OBDD for this function with bounded two-sided error requires size 2^{Ω(n)}. (ii) Quantum branching programs reading each input variable exactly once are shown to require size 2^{Ω(n)} for computing the set-disjointness function DISJ_n from communication complexity theory with two-sided error bounded by a constant smaller than 1/2-2\sqrt{3}/7. This function is trivially computable even by deterministic OBDDs of linear size. The technically most involved part is the proof of the lower bound in (ii). For this, a new model of quantum multi-partition communication protocols is introduced and a suitable extension of the information cost technique of Jain, Radhakrishnan, and Sen (2003) to this model is presented.

研究动机与目标

• 为非遗忘型量子读一次分支程序建立首个非平凡的上下界。
• 通过构造显式函数，证明量子与经典读一次分支程序具有不可比较的计算能力，即每种模型在某些问题上优于对方。
• 将信息成本技术扩展至新的量子多分拆通信协议模型，以证明集合不相交函数的下界。
• 表明量子读一次分支程序在总函数上可相对于经典随机对应物实现指数级大小优势。
• 证明量子读一次分支程序在计算集合不相交函数时需指数级大小，尽管该问题对经典确定性OBDD是可 tractable 的。

提出的方法

• 引入一种新的量子多分拆通信协议模型，以分析量子读一次分支程序。
• 将Jain-Radhakrishnan-Sen信息成本技术的扩展应用于新的量子多分拆模型。
• 使用加权和函数及其扩展形式——混合加权和函数（MWSₙ）作为构建指数级量子优势的基础构件。
• 采用互信息与条件熵技术，以限制量子分支程序中的信息流。
• 通过输入条件化与平均论证的约化，将分支程序大小的分析转化为量子通信协议的信息成本。
• 利用条件分布下输入比特的独立性，从分支程序行为模拟量子2-分拆协议。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子读一次分支程序能否在总函数上相对于经典随机读一次分支程序实现指数级大小优势？
• RQ2 是否存在一个总函数，使得量子读一次分支程序相对于经典随机程序呈指数级更小？
• RQ3 量子读一次分支程序在集合不相交函数上的空间复杂度是多少？与经典模型相比如何？
• RQ4 能否将通信复杂性中的信息成本技术扩展至量子多分拆协议，以证明下界？
• RQ5 与遗忘模型相比，量子读一次分支程序的非遗忘性如何影响其计算能力？

主要发现

• 一个无误差的量子读一次分支程序，大小为 $O(n^3)$，可计算混合加权和函数 MWSₙ，该函数是 $2n$ 个输入位上的总函数。
• 任何经典随机读一次分支程序或两面误差小于 $1/2$ 的量子OBDD，计算 MWSₙ 均需大小 $2^{ ilde{\text{O}}(n)}$。
• 量子读一次分支程序计算集合不相交函数 DISJₙ 时，若两面误差被常数小于 $1/2 - 2\tilde{3}/7$ 所限制，则需大小 $2^{ ilde{\text{O}}(n)}$。
• DISJₙ 的下界通过一种新颖的量子多分拆通信协议模型及该模型下信息成本技术的扩展得以证明。
• AND 函数的 $\tilde{\text{O}}$-误差量子2-分拆协议的信息成本有正的下界，从而支持了大小下界。
• 结果表明，量子与经典读一次分支程序具有不可比较的计算能力：每种模型均可高效求解对方无法高效求解的问题。