[论文解读] Quantum walk speedup of backtracking algorithms

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 30

一句话总结

本文提出了一种量子算法，实现了对求解约束满足问题（CSPs）所用经典回溯算法的近似二次加速。通过在回溯树上执行量子行走，该算法将谓词和启发式评估次数从经典情况下的 $O(T)$ 降低至 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$，其中 $T$ 为回溯树的大小，当 $T$ 较大时，对 SAT 等问题可实现显著加速。

ABSTRACT

We describe a general method to obtain quantum speedups of classical algorithms which are based on the technique of backtracking, a standard approach for solving constraint satisfaction problems (CSPs). Backtracking algorithms explore a tree whose vertices are partial solutions to a CSP in an attempt to find a complete solution. Assume there is a classical backtracking algorithm which finds a solution to a CSP on n variables, or outputs that none exists, and whose corresponding tree contains T vertices, each vertex corresponding to a test of a partial solution. Then we show that there is a bounded-error quantum algorithm which completes the same task using O(sqrt(T) n^(3/2) log n) tests. In particular, this quantum algorithm can be used to speed up the DPLL algorithm, which is the basis of many of the most efficient SAT solvers used in practice. The quantum algorithm is based on the use of a quantum walk algorithm of Belovs to search in the backtracking tree. We also discuss how, for certain distributions on the inputs, the algorithm can lead to an exponential reduction in expected runtime.

研究动机与目标

• 开发一种针对求解约束满足问题（CSPs）所用经典回溯算法的通用量子加速方法。
• 将求解 CSP 所需的谓词和启发式评估次数从经典 $O(T)$ 降低至量子 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$，其中 $T$ 为回溯树的大小。
• 证明该量子加速具有广泛适用性，包括对 DPLL 算法（现代实用 SAT 求解器的基础方法）也适用。
• 分析在何种输入分布下，该量子算法可实现期望运行时间的指数级减少。

提出的方法

• 该算法在回溯树上执行量子行走，其中每个顶点代表对 CSP 的一个部分赋值。
• 采用 Belovs 提出的量子行走算法在树中搜索解，利用量子振幅放大实现加速。
• 该方法假设可访问一个谓词 $P$，用于评估部分赋值为真、假或不确定，以及一个启发式 $h$ 以选择下一个待赋值的变量。
• 量子算法构建一个状态 $|\xi\rangle$，该状态是树中未标记顶点的叠加态，其振幅由基于树结构求解线性方程组得到。
• 运行时间界限通过有效谱间隙引理推导，该引理将状态在目标空间正交补空间上的投影范数与树的顶点数 $T$ 相关联。
• 该算法使用 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$ 次 $P$ 和 $h$ 的评估，失败概率为 $\delta$，且在 $\operatorname{poly}(n)$ 空间内运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用量子行走实现对 CSP 中所用回溯算法的通用量子加速？
• RQ2 给定经典算法探索大小为 $T$ 的树，通过回溯法求解 CSP 的量子查询复杂度是多少？
• RQ3 当回溯树较小时或具有特定结构时，该量子加速是否依然有效？在何种输入分布下可实现指数级加速？
• RQ4 在实际的 CSP 实例（如 $k$-SAT）中，该量子算法与经典回溯法及 Grover 算法相比性能如何？

主要发现

• 该量子算法实现了近似二次加速，将谓词和启发式评估次数从经典 $O(T)$ 降低至 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$。
• 对于 $k=O(1)$ 的随机 $k$-SAT 实例，回溯树的期望顶点数为 $O(n2^{Cn})$，其中 $C = \left(\frac{2^{k}\ln 2}{\alpha k}\right)^{1/(k-1)}\left(1 - \frac{1}{k}\right)$，此时量子算法的加速比例与 $\sqrt{T}$ 成正比。
• 当 $k=3$ 时，期望顶点数为 $\Omega(2^{C'n})$，其中 $C' \geq 0.906/\sqrt{\alpha} - 0.142/\alpha^2$，表明在某些参数范围内，该量子算法可实现指数级加速。
• 该算法可应用于 DPLL 算法，后者是许多现代 SAT 求解器的基础，表明其具有实际应用价值。
• 量子行走方法确保了有界误差性能，失败概率不超过 $\delta$，且每个 oracle 调用仅需 $O(1)$ 个辅助操作。
• 分析表明，当 $T$ 较大时，该量子加速效果最佳，且在特定输入分布下，可实现期望运行时间的指数级减少。