[论文解读] Quantum walks on directed graphs

Ashley Montanaro|ArXiv.org|Apr 15, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文证明，在有向图上，离散时间量子行走仅在图具有可逆性时才可能实现——即每条有向边都存在反向路径，因此可逆性是离散时间量子行走的必要且充分条件。对于不可逆图，本文提出一种混合的‘部分量子’行走方法，通过交替进行酉演化与测量，在保持有限相干性的同时，使一般有向图上的量子行走行为成为可能。

ABSTRACT

We consider the definition of quantum walks on directed graphs. Call a directed graph reversible if, for each pair of vertices (i, j), if i is connected to j then there is a path from j to i. We show that reversibility is a necessary and sufficient condition for a directed graph to allow the notion of a discrete-time quantum walk, and discuss some implications of this condition. We present a method for defining a "partially quantum" walk on directed graphs that are not reversible.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，离散时间量子行走可以在有向图上被有意义地定义。
• 识别出使有向图上实现酉量子行走演化成为可能的结构性条件——可逆性。
• 通过混合酉-测量方法，为非可逆有向图上的量子行走提供一个框架。
• 评估可逆性对针对困难的有向图问题（如可达性问题）的量子算法的影响。

提出的方法

• 通过反复应用将顶点关联的基态映射到其他顶点态的酉算符 W 来定义离散时间量子行走。
• 引入‘可逆’有向图的概念，即每条有向边都存在反向路径，作为实现完全相干量子行走的必要且充分条件。
• 通过交替进行酉演化与投影测量，构建一种‘部分量子’行走，以在不可逆图上保持相干性。
• 利用酉行走算符的支撑集来定义底层图结构，确保转移对应于图中的有向边。
• 将该框架应用于可达性问题，表明可逆图上的可达性问题可归约为无向连通性问题，从而限制了量子优势的发挥。
• 证明依赖于汇点（如 Schöning 的 SAT 算法）的经典随机行走算法无法被直接推广到不可逆图上的量子行走，原因在于缺乏可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图的何种结构性条件可使具有完全酉相干性的离散时间量子行走被有意义地定义？
• RQ2 是否可以在不可逆有向图上定义量子行走？如果可以，如何保持相干性？
• RQ3 可逆性条件如何影响量子行走算法在有向图上 NP-难问题（如可达性问题）中的适用性？
• RQ4 为处理不可逆有向图，对标准量子行走模型需要做出何种修改？
• RQ5 基于量子行走的算法在有向图问题（如 SAT 或可达性问题）上，能在多大程度上超越经典对应算法？

主要发现

• 可逆性——即每条有向边都存在反向路径——是使用酉算符定义离散时间量子行走的必要且充分条件。
• 所有无向图以及所有欧拉图（包括正则图）都是可逆的，因为它们具有对称的连通性。
• 对于不可逆图，可通过交替进行酉演化与投影测量，定义一种‘部分量子’行走，从而在步骤间保持量子相干性。
• 在可逆有向图上的可达性问题可归约为无向连通性问题，这意味着量子行走算法在这些情况下可能无法提供显著加速。
• 依赖于到达汇点的经典随机行走算法（如 Schöning 算法）无法被直接推广到不可逆图上的量子行走，原因在于缺乏可逆性。
• 对于连续时间量子行走，有向图的邻接矩阵必须是厄米矩阵，但这一条件在不可逆图上不成立，因此本研究聚焦于离散时间行走具有充分理由。