[论文解读] Quantum walks on regular uniform hypergraphs

Ying Liu, Jiabin Yuan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过建立正则统一超图与二分图之间的一一对应关系，提出了一种在正则统一超图上进行离散时间量子行走的模型，从而能够应用Szegedy的量子行走框架。该方法在经典随机行走基础上实现了二次加速，并推导出转移矩阵的谱性质，即使在二分图的两个部分大小不等时依然成立，为超图上的量子算法奠定了基础。

ABSTRACT

Quantum walks on graphs have shown prioritized benefits and applications in wide areas. In some scenarios, however, it may be more natural and accurate to mandate high-order relationships for hypergraphs, due to the density of information stored inherently. Therefore, we can explore the potential of quantum walks on hypergraphs. In this paper, by presenting the one-to-one correspondence between regular uniform hypergraphs and bipartite graphs, we construct a model for quantum walks on bipartite graphs of regular uniform hypergraphs with Szegedy's quantum walks, which gives rise to a quadratic speed-up. Furthermore, we deliver spectral properties of the transition matrix, given that the cardinalities of the two disjoint sets are different in the bipartite graph. Our model provides the foundation for building quantum algorithms on the strength of quantum walks, suah as quantum walks search, quantized Google's PageRank and quantum machine learning, based on hypergraphs.

研究动机与目标

• 开发一种适用于正则统一超图的量子行走模型，以更好地捕捉标准图无法表达的高阶关系。
• 建立正则统一超图与二分图之间的一一对应关系，以支持Szegedy的量子行走框架的应用。
• 将Szegedy的量子行走推广至二分图两部分基数不同的情况。
• 推导量子行走算符转移矩阵的谱性质，这对于分析动力学行为和性能至关重要。
• 为基于超图结构数据的搜索、PageRank和机器学习等量子算法提供理论基础。

提出的方法

• 将正则统一超图映射为一个二分图，其中一组代表顶点，另一组代表超边。
• 通过顶点到边和边到顶点的转移矩阵，在超图上定义经典随机行走。
• 基于二分图上的反射算符，利用Szegedy的方法构造酉演化算符。
• 将Szegedy的形式化方法扩展至二分图中两部分大小不等的情况，并进行修正的谱分析。
• 通过关系 $ \sigma_k = \cos \theta_k $，从转移矩阵的奇异值推导出行走算符的本征值。
• 分析特征空间：$ nd - (m+n) $ 个本征值为 1，$ n - m $ 个本征值为 -1，以及 $ 2m $ 个形如 $ e^{\pm 2i\theta_k} $ 的本征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正则统一超图上的离散时间量子行走映射到与Szegedy量子行走模型兼容的框架？
• RQ2 当二分图的两部分大小不等时，转移矩阵会呈现出何种谱性质？
• RQ3 通过二分图表示将Szegedy量子行走推广至超图时，其二次加速特性是否仍然保持？
• RQ4 在两部分大小不等的情况下，如何对量子行走算符的本征结构进行分解？
• RQ5 转移矩阵的奇异值在决定量子行走动力学行为中起什么作用？

主要发现

• 建立了正则统一超图与二分图之间的一一对应关系，使得Szegedy的量子行走框架得以应用。
• 该量子行走模型在经典随机行走基础上实现了与Szegedy原始结果一致的二次加速。
• 酉演化算符 $ W $ 在一维不变子空间中具有 $ nd - (m + n) $ 个本征值为 1，以及 $ n - m $ 个本征值为 -1。
• 其余 $ 2m $ 个本征值为 $ \lambda_k = e^{\pm 2i\theta_k} $，其中 $ \theta_k \in (0, \pi/2) $，由奇异值 $ \sigma_k = \cos \theta_k $ 推导得出。
• 本征向量显式构造为 $ |k\rangle = \frac{A|\mu_k\rangle - e^{\pm i\theta_k} B|\nu_k\rangle}{\sqrt{2} \sin \theta_k} $，将行走动力学与超图结构联系起来。
• 谱分解提供了对行走算符的完整刻画，使得能够分析量子算法中的 hitting times 和概率放大。