[论文解读] Quartet fixed point for nonlinear contraction

Erdal Karapınar|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用 33

一句话总结

本文引入了在部分有序度量空间中，通过混合 g-单调映射对非线性压缩映射的四元组不动点概念。在广义压缩条件下，建立了四元组重合点存在的唯一性，扩展了先前通过迭代序列和映射及其关联函数 g 的连续性假设对耦合与三重不动点的研究。

ABSTRACT

The notion of coupled fixed point is introduced in by Bhaskar and Lakshmikantham in [2]. Very recently, the concept of tripled fixed point is introduced by Berinde and Borcut [1]. In this manuscript, by using the mixed g monotone mapping, some new quartet fixed point theorems are obtained. We also give some examples to support our results.

研究动机与目标

• 将不动点理论从耦合与三重不动点扩展至部分有序度量空间中的四元组不动点。
• 在广义压缩条件下，建立映射 F 与函数 g 的四元组重合点的存在性与唯一性。
• 通过引入具有混合 g-单调性的四变量不动点结构，推广先前关于耦合与三重不动点的结果。
• 提供充分条件，包括连续性、可交换性与序相容性，以确保迭代序列收敛至四元组不动点。

提出的方法

• 为四变量映射 F: X⁴ → X 定义混合 g-单调性，其中 F 相对于 g 导出的序在第一和第三变量上非减，在第二和第四变量上非增。
• 引入涉及函数 φ 的压缩条件，使得 d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))])，且对 t > 0 有 φ(t) < t。
• 构造迭代序列 (xₙ), (yₙ), (zₙ), (wₙ)，使得 g(xₙ₊₁) = F(xₙ, yₙ, zₙ, wₙ)，依此类推，并证明序列 {g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)} 在完备度量空间 X 中是柯西序列。
• 利用 g 的连续性及 F 与 g 的可交换性，证明这些序列的极限满足四元组重合点方程：F(x,y,z,w) = g(x)，F(y,z,w,x) = g(y)，F(z,w,x,y) = g(z)，F(w,x,y,z) = g(w)。
• 通过反证法证明收敛性：假设距离序列的极限不为零，将与压缩条件产生矛盾。
• 应用两种不同假设：(a) F 与 g 的连续性，以及 (b) 极限与迭代序列的序相容性，以确保不动点条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，四变量映射 F 在部分有序度量空间中存在四元组重合点？
• RQ2 混合 g-单调性概念如何从耦合与三重不动点推广至四元组不动点？
• RQ3 何种压缩条件可确保迭代序列收敛至唯一的四元组不动点？
• RQ4 F 与 g 的连续性及可交换性如何影响四元组重合点的存在性？
• RQ5 当 F 不连续时，极限序列的序相容性在其中起何作用？

主要发现

• 迭代序列 {g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)} 在完备度量空间 X 中收敛至极限 x, y, z, w。
• 在连续性与可交换性假设下，极限满足四元组重合点方程：F(x,y,z,w) = g(x)，F(y,z,w,x) = g(y)，F(z,w,x,y) = g(z)，F(w,x,y,z) = g(w)。
• 当 F 不连续但序相容性条件成立时，通过利用压缩条件的极限论证，可获得相同的四元组重合点。
• 压缩条件 d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))]) 且 φ(t) < t 可确保收敛性。
• 若迭代项之间的距离不趋于零，则可导出矛盾，从而证明序列的柯西性质。
• 唯一性由严格压缩条件及函数 φ 的性质所蕴含。