[论文解读] Quasi-actions on trees: research announcement

Lee Mosher, Michah Sageev+1 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 5

一句话总结

本研究简报提出了一种利用粗代数拓扑和树刚性来研究图的群的拟等距刚性的框架，证明了：若一个群拟等距于具有繁茂Bass-Serre树的有限图的粗Poincaré对偶（PD）群，则该群本身是具有拟等距顶点群和边群的图的群的基本群。关键结果在维数同调和与非同调条件下建立了拟等距刚性和分类，其应用涵盖通过模式刚性得到的双曲流形和阿贝尔群。

ABSTRACT

We develop a battery of tools for studying quasi-isometric rigidity and classification problems for splittings of groups. The techniques work best for finite graphs of groups where all edge and vertex groups are coarse PD groups. For example, if Gamma is a graph of coarse PD(n) groups for a fixed n, if the Bass-Serre tree of Gamma has infinitely many ends, and if H is a finitely generated group quasi-isometric to pi_1(Gamma), then we prove that H is the fundamental group of a graph of coarse PD(n) groups, with vertex and edge groups quasi-isometric to those of Gamma. We also have quasi-isometric rigidity theorems for graphs of coarse PD groups of nonconstant dimension, under various assumptions on the edge-to-vertex group inclusions.

研究动机与目标

• 开发用于具有粗PD群和繁茂Bass-Serre树的图的群的拟等距刚性分析技术。
• 对拟等距于有限图的粗PD(n)群基本群的群进行分类。
• 将刚性结果扩展至非齐次情形，如具有维数降低边连接的阿贝尔群图。
• 应用模式刚性定理——特别是阿贝尔模式刚性和测地线模式刚性——以加强拟等距分类。
• 证明在某些图的群构造中，拟等距类由顶点空间中边空间方向的射影模式决定。

提出的方法

• 利用群在树上的拟作用和树刚性来分析拟等距群。
• 应用粗代数拓扑和粗PD群理论以控制群的拟等距关系。
• 应用Bestvina-Feighn组合定理，以在适当条件下保证字双曲性。
• 利用渐近锥和Rademacher定理证明欧氏空间中仿射叶状覆盖的阿贝尔模式刚性。
• 利用测地线模式刚性（Schwartz）证明双曲流形并合中的弱共轭性。
• 构造新图与原图的群之间的拟等距映射，该映射保持边到顶点的模式关系至粗等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有粗PD(n)群的图的拟等距类由其顶点群和边群的拟等距类型决定？
• RQ2 是否可为具有非恒定维数顶点群的图的群建立拟等距刚性？
• RQ3 顶点空间中边空间方向的射影模式在多大程度上可作为拟等距不变量？
• RQ4 图的群的拟等距如何诱导其相关Bass-Serre树和顶点空间上的结构保持映射？
• RQ5 对于具有无限循环边群的双曲流形群图，其拟等距群和抽象共轭群的结构是怎样的？

主要发现

• 任何拟等距于具有繁茂Bass-Serre树的有限图的粗PD(n)群的有限生成群，本身都是具有拟等距顶点群和边群的图的群的基本群。
• 对于满足维数降低条件(*)的阿贝尔群图，任何拟等距群都是几乎阿贝尔群图的基本群。
• 顶点空间中边空间方向的射影模式是拟等距不变量，且阿贝尔模式刚性确保此类模式在拟等距下保持不变。
• 在具有无限循环边群的双曲流形群图的情形下，拟等距群与原群或Z弱共轭。
• 此类双曲图的群的拟等距群在相关空间树的全等距群中为有限指数子群，且同构于抽象共轭群。
• 定理3的加强版本表明，筏状顶点中边空间方向的射影模式在拟等距下保持不变，从而确保结构刚性。