[论文解读] Quasi-adiabatic Continuation for Disordered Systems: Applications to Correlations, Lieb-Schultz-Mattis, and Hall Conductance

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 15被引用 24

一句话总结

本文为无序量子多体系统引入了局域化低能激发的迁移率隙定义，使此前依赖能隙的准绝热连续技术得以推广至此类系统。通过使用具有次指数衰减特性的优化滤波函数，作者证明了关联函数的指数衰减、广义的高维Lieb-Schultz-Mattis定理以及在较弱态密度假设下的霍尔电导量子化，且误差界以次指数而非指数方式衰减。

ABSTRACT

We present a possible definition of a mobility gap for a many-body quantum system, in analogy to definitions of dynamical localization for single particle systems. Using this definition, we construct "corrected" quasi-adiabatic continuation operators. Under an appropriate definition of a unique ground state, we show how to introduce virtual fluxes. Armed with these results, we can directly carry over previous results in the case of a spectral gap. We present a proof of decay of correlation functions and we present a proof of Hall conductance quantization under very mild density-of-states assumptions defined later. We also generalize these definitions to the case of a "bulk mobility gap", in the case of a system with boundaries, and present a proof of Hall conductance quantization on an annulus under appropriate assumptions. Further, we present a new "optimized" quasi-adiabatic continuation operator which simplifies previous estimates and tightens bounds in certain cases. This is presented in an appendix which can be read independently of the rest of the paper as it also improves estimates in the case of systems with a spectral gap. This filter function used decays in time at least as fast as ${\cal O}(\exp(-t^α))$ for all $α<1$, a class of decay called subexponential (a tighter description of what is possible is below). Using this function it is possible to tighten recent estimates of the Hall conductance quantization for gapped systems\cite{hall} to a decay which is subexponential in system size.

研究动机与目标

• 为无序多体量子系统定义迁移率隙，将能隙概念推广至局域化低能激发情形。
• 构建修正的准绝热连续算符，使其在迁移率隙存在时保持局域性并近似实现绝热演化。
• 将先前结果（如关联衰减、Lieb-Schultz-Mattis定理和霍尔电导量子化）从能隙假设推广至具有迁移率隙的系统。
• 引入一种优化的准绝热连续算符，具备改进的衰减特性，从而收紧现有证明中的误差界。
• 将框架推广至具有边界和体迁移率隙的系统，实现在如环形等拓扑非平凡几何结构上的霍尔电导量子化。

提出的方法

• 基于低能激发传播缓慢的特性，提出一种类比单体系统中动力学局域化的迁移率隙定义。
• 构造在迁移率隙区域内保持局域性并近似实现绝热演化的修正准绝热连续算符。
• 引入一种新的滤波函数，其衰减为次指数形式，具体为 $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $，对所有 $ \alpha < 1 $ 成立，以改进误差估计。
• 将Lieb-Robinson界与新滤波函数结合，控制绝热演化过程中算符的传播。
• 通过引入虚位移通量和基态唯一性假设，推导出对通量响应的界，推广了无能隙系统中的结果。
• 将该框架应用于证明在态密度假设最弱条件下的关联衰减、霍尔电导量子化以及广义的Lieb-Schultz-Mattis定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为无序多体量子系统定义一种迁移率隙，使其推广能隙概念？
• RQ2 如何调整准绝热连续算符，使其在迁移率隙系统中保持局域性并近似实现绝热演化？
• RQ3 在无能隙的无序系统中，关联衰减、霍尔电导量子化及Lieb-Schultz-Mattis定理等结果能在多大程度上被推广？
• RQ4 能否通过使用具有次指数衰减特性的新滤波函数，收紧现有证明（如霍尔电导量子化）中的误差界？
• RQ5 如何将该框架推广至具有边界和体迁移率隙的系统，特别是在拓扑非平凡几何结构中？

主要发现

• 本文建立了无序系统中广义的高维Lieb-Schultz-Mattis定理，表明要么能隙变得超多项式地小，要么位移通量期望值以特定受限方式变化。
• 在基态唯一的假设下，证明了无序系统中关联函数的指数衰减。
• 霍尔电导被证明以整数为单位量化，其误差由衰减类 $ g $ 的函数有界，且误差以次指数方式衰减，而非指数方式。
• 基于衰减为 $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $（对所有 $ \alpha < 1 $）的滤波函数的优化准绝热连续算符，简化了误差估计，并收紧了现有证明中的界。
• 该框架可推广至具有边界的系统，使得在适当假设（包括体迁移率隙）下，可在环形几何上证明霍尔电导的量子化。
• 霍尔电导量子化中的误差被证明以次指数方式衰减，优于以往的幂指数的指数误差界。