[论文解读] Quasi-concave functions on antimatroids

Vadim E. Levit, Yulia Kempner|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2004

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了 k-截断拟凹集函数与 k-截断拟序拟序结构上单调链接函数之间的对偶性。证明了此类结构上的任意拟凹函数均可表示为某个单调链接函数的最小值，反之，任意单调链接函数的最小值也产生一个拟凹函数——前提是底层集合系统满足无上界限制的 k-截断区间性质，而该性质恰好刻画了 k-截断拟序拟序结构。

ABSTRACT

In this paper we consider quasi-concave set functions defined on antimatroids. There are many equivalent axiomatizations of antimatroids, that may be separated into two categories: antimatroids defined as set systems and antimatroids defined as languages. An algorthmic characterization of antimatroids, that considers them as set systems, was given in (Kempner, Levit 2003). This characterization is based on the idea of optimization using set functions defined as minimum values of linkages between a set and the elements from the set complement. Such set functions are quasi-concave. Their behavior on antimatroids was studied in (Kempner, Muchnik 2003), where they were applied to constraint clustering. In this work we investigate a duality between quasi-concave set functions and linkage functions. Our main finding is that quasi-concave set functions on an antimatroid may be represented as minimum values of some monotone linkage functions.

研究动机与目标

• 在截断拟序拟序结构上建立拟凹集函数与单调链接函数之间的对偶性。
• 刻画所有集合系统类，使得任意单调链接函数的最小值均产生一个拟凹函数。
• 证明定义给定拟凹函数的所有单调链接函数在逐点最小值下构成一个半格。
• 证明无上界限制的 k-截断区间性质是该对偶性成立的必要且充分条件。

提出的方法

• 通过基交集的交运算定义 k-截断拟序拟序结构上的拟凹集函数：F(X ∧ Y) ≥ min{F(X), F(Y)}。
• 引入满足 X ⊆ Y ⇒ π(x,X) ≥ π(x,Y) 对所有 x ∈ E 成立的单调链接函数 π。
• 将拟凹函数 F 表示为 F(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π(x,X)，其中 Γ(X) 是 X 的可行延续集合。
• 利用 k-截断区间性质与基性质，证明此类最小函数必为拟凹函数。
• 通过 π_F(x,X) = max_{A ∈ [X, E−x]_F_{k−1}} F(A) 构造一个规范链接函数 π_F，证明其能定义 F 且是所有此类函数中最小的。
• 证明所有此类链接函数在逐点最小值下构成一个半格，且 π_F 为零元。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 k-截断拟序拟序结构上的拟凹函数是否都能表示为某个单调链接函数的最小值？
• RQ2 无上界限制的 k-截断区间性质是否既是任意单调链接函数最小值为拟凹函数的必要条件，也是充分条件？
• RQ3 表示给定拟凹函数的所有单调链接函数的代数结构是什么？
• RQ4 规范链接函数 π_F 与其他定义相同 F 的链接函数之间有何关系？
• RQ5 基算子 B(X) 在刻画可行延续并确保对偶性成立的过程中起什么作用？

主要发现

• 每个 k-截断拟序拟序结构上的拟凹函数 F 均可表示为 F(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π(x,X)，其中 π 为某个单调链接函数。
• 通过 π_F(x,X) = max_{A ∈ [X, E−x]_F_{k−1}} F(A) 定义的规范链接函数 π_F 满足 F(X) = min_{x ∈ Γ(X)} π_F(x,X)，且为所有此类函数中最小者。
• 所有定义给定 F 的单调链接函数在逐点最小值下构成一个半格，且 π_F 为最小元素。
• 无上界限制的 k-截断区间性质是任意单调链接函数最小值为拟凹函数的必要且充分条件。
• 若 k-截断区间性质不成立，则存在某个单调链接函数，其最小值非拟凹，从而证明该条件的必要性。
• 以 E = {1,2}, F = 2^E 及 π(2,∅) = 2, π(x,X) = 1（其他情况）为例，表明即使 F 为常数，π_F ≠ π，说明 π_F 虽不唯一，但为最小者。