[论文解读] Quasi-conserved quantities in the perturbed XXX spin chain

Savvas Malikis, Denis V. Kurlov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2020

Quantum many-body systems参考文献 31被引用 5

一句话总结

该论文通过修改可积模型的局部守恒量，在弱扰动的各向同性XXX自旋-1/2链中构造了准守恒荷。通过在SU(2)对称性与平移不变的局域扰动强度上进行微扰展开，表明只有前几阶荷（约n ≈ 3–4阶）可被提升为精度为O(λ²)的准守恒量，而更高阶荷由于非局域性与发散校正而失去守恒性。

ABSTRACT

We consider the isotropic spin-1/2 Heisenberg spin chain weakly perturbed by a local translationally- and SU(2)-invariant perturbation. Starting from the local integrals of motion of the unperturbed model, we modify them in order to obtain quasi-conserved integrals of motion (charges) for the perturbed model. Such quasi-conserved quantities are believed to be responsible for the existence of the prethermalization phase at intermediate timescales. We find that for a sufficiently local perturbation only the first few integrals of motion can be promoted to the quasi-conserved charges, whereas higher-order integrals of motion do not survive.

研究动机与目标

• 识别弱微扰XXX自旋链中的准守恒荷，以解释实验与模拟中观测到的预热化相。
• 通过识别在中间时间尺度上有效的守恒量，将广义吉布斯系综（GGE）框架扩展至近可积系统。
• 确定在弱微扰下，无微扰XXX模型的局部守恒量在何种条件下可被修正为近似守恒荷。
• 研究SU(2)不变张量结构在构造保持对称性与局域性的守恒荷校正中的作用。
• 阐明微扰构造的局限性，特别是为何高阶荷无法保持准守恒。

提出的方法

• 从可积XXX自旋链的局部守恒荷$ Q_n $出发，通过微扰展开在小扰动强度$ \lambda $下构造校正项$ \delta Q_n^{(m)} $。
• 使用由k个自旋上的泡利矩阵乘积构成的SU(2)不变算符基，包括$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4, \Delta_5 $，来表达校正项。
• 施加条件$ [H_0 + \lambda V, \tilde{Q}_n] = \mathcal{O}(\lambda^2) $，以确保在$ \lambda $的二阶精度下实现准守恒，从而导出系数$ c_n^{(m)} $的递推方程。
• 应用递推关系$ \Delta_n(j_1,\dots,j_n) = i[\Delta_2(j_1,j_2), \Delta_{n-1}(j_2,\dots,j_n)] $，系统地生成SU(2)不变张量积。
• 求解所得线性系统以确定系数$ c_n^{(m)} $，确保修正荷$ \tilde{Q}_n = Q_n + \sum_m \delta Q_n^{(m)} $与微扰哈密顿量在$ \mathcal{O}(\lambda^2) $精度下对易。
• 分析校正项的标度行为，发现高阶荷需要越来越非局域的项，导致系数发散，构造失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱、局域、SU(2)与平移不变微扰下，可积XXX模型的哪些局部与准局域守恒荷可被提升为准守恒荷？
• RQ2 在何种扰动下，守恒荷的最大阶数可保持近似守恒？为何高阶荷无法保持准守恒？
• RQ3 SU(2)不变张量结构（如$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $）如何贡献于保持对称性与局域性的校正构造？
• RQ4 能否系统地将准守恒荷的微扰构造扩展至前几阶以上？其在高阶保持中的障碍是什么？
• RQ5 准守恒性失效与时间尺度$ t \sim \lambda^{-2} $下预热化动力学的出现之间有何关联？

主要发现

• 只有前几阶荷（至$ n \approx 3 $–$ 4 $阶）可被提升为精度$ \mathcal{O}(\lambda^2) $的准守恒荷，而更高阶荷因发散校正而失效。
• 校正项$ \delta Q_n^{(m)} $的构造依赖于泡利算符的SU(2)不变张量积，如$ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $，这些通过递推关系系统生成。
• 对于$ n=3 $，准守恒荷$ \tilde{Q}_3^{(4)} $使用$ \Delta_2 $与$ \Delta_3 $项构造，其中系数$ c_3^{(3)}(\{0,1,2\}) = 0 $以避免重复计数或不一致。
• 微扰方法在高阶荷上失效，因为所需校正项变得非局域，且系数发散，导致精确准守恒不可能实现。
• 高阶荷无法保持准守恒，是由于不存在几乎对易的矩阵三元组，暗示在算符代数中存在根本性障碍。
• 结果支持如下观点：微扰XXX链中的预热化由基于前几阶准守恒荷的低秩有效GGE所主导，而非全部局部荷的集合。