[论文解读] Quasi-Controllability and Estimates of Amplitudes of Transient Regimes in Discrete Systems

Victor Kozyakin, Н. В. Кузнецов+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于新型概念——准可控性的新框架，用于估计离散控制系统的瞬态振幅上界。通过定义准可控性度量，作者证明：对于稳定且准可控的系统，所有从单位球出发的状态轨迹均被该度量的倒数所界定，从而提供了对超调量的构造性先验上界。该方法确保了系统在小参数扰动下稳定性与不稳定性性质的鲁棒性。

ABSTRACT

Families of regimes for discrete control systems are studied possessing a special quasi-controllability property that is similar to the Kalman controllability property. A new approach is proposed to estimate the amplitudes of transient regimes in quasi-controllable systems. Its essence is in obtaining of constructive a priori bounds for degree of overshooting in terms of the quasi-controllability measure. The results are applicable for analysis of transients, classical absolute stability problem and, especially, for stability problem for desynchronized systems.

研究动机与目标

• 为解决离散控制系统中由于可控性差或不同步导致的瞬态振幅无界问题。
• 开发一种构造性先验方法，用于估计瞬态阶段中状态轨迹的最大振幅。
• 建立准可控性程度与稳定系统中超调量上界之间的联系。
• 确保离散系统在参数发生小扰动时，稳定性与不稳定性性质保持鲁棒。
• 提供一种可计算的度量，用于量化系统避免大瞬态峰值的能力，适用于绝对稳定性和不同步系统。

提出的方法

• 引入准可控性的概念：若一族矩阵在ℝ^N的任意非零真子空间上均不保持不变，则称该族矩阵为准可控的。
• 将准可控性度量χ(𝒜)定义为σ_{N-1}(𝒜)最小值的倒数，用以量化准可控性的程度。
• 利用矩阵积𝒜_k(x)及其凸包分析离散系统中的可达性与轨迹上界。
• 应用度量σ_{N-1}(𝒜)推导状态向量范数的上界，尤其适用于具有切换动态的系统。
• 采用类似李雅普诺夫的稳定性分析与矩阵范数估计，证明当系统稳定且准可控时，对所有n均有‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜)。
• 通过准可控性度量的连续性及矩阵族的收敛性，建立不稳定性性质的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为可控性较差的离散系统推导出瞬态阶段振幅的构造性先验上界？
• RQ2 状态轨迹的最大超调量与系统准可控性的程度之间有何关系？
• RQ3 离散系统的稳定性或不稳定性在参数发生小扰动时是否保持鲁棒？
• RQ4 所提出的度量能否有效应用于不同步或异步系统？
• RQ5 在系统设计为高渐近稳定性时，何种条件可确保超调量保持有界？

主要发现

• 对于任意稳定且准可控的离散系统，所有从单位球出发的状态轨迹均被准可控性度量的倒数一致有界：‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜)。
• 准可控性度量χ(𝒜)是可计算的，并能直接提供瞬态超调量的构造性上界，无需满足完全可控性条件。
• 若系统准可控，则其稳定性对小参数扰动具有鲁棒性，如定理8所示。
• 度量χ(𝒜)在矩阵族中连续，确保系统参数的小幅变化仅引起超调量上界的微小变化。
• 在不同步系统中，若系统为李雅普诺夫绝对稳定，且矩阵A不可约且1不是其特征值，则χ(𝒜) ≤ (αβ^{N−1})^{−1}，从而提供基于稳定性的上界。
• 若不假设准可控性，则矩阵族的收敛性不能保证稳定性或有界超调量，如反例（例4和例5）所示。