[论文解读] Quasi-Coxeter categories and quantum groups

Andrea Appel, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文引入了辫子考克斯eter范畴作为张量范畴，其上具有广义 braid 群与阿廷 braid 群的相容且彼此交换的作用。研究证明，量子 Weyl 群算子与量化 Kac-Moody 代数 U_h(g) 的 Levi 子代数的通用 R-矩阵，赋予可积范畴 O 模以辫子考克斯eter结构，该结构随后通过 2-范畴化量化被转移至 g 的范畴 O 表示中，从而推广了对量子 Weyl 群算子的单值描述。

ABSTRACT

We define the notion of braided Coxeter category, which is informally a tensor category carrying compatible, commuting actions of a generalised braid group B_W and Artin's braid groups B_n on the tensor powers of its objects. The data which defines the action of B_W bears a formal similarity to the associativity constraints in a monoidal category, but is related to the coherence of a family of fiber functors. We show that the quantum Weyl group operators of a quantised Kac-Moody algebra U_h(g), together with the universal R-matrices of its Levi subalgebras, give rise to a braided Coxeter structure on integrable, category O-modules for U_h(g). By relying on the 2-categorical extension of Etingof-Kazhdan quantisation obtained in arXiv:1610.09744, we then prove that this structure can be transferred to integrable, category O-representations of g. These results are used in arXiv:1512.03041 to give a monodromic description of the quantum Weyl group operators of U_h(g) which extends the one obtained by the second author for a semisimple Lie algebra.

研究动机与目标

• 定义并形式化辫子考克斯eter范畴的概念，即具有广义 braid 群与阿廷 braid 群相容作用的张量范畴。
• 建立量子 Weyl 群算子与 U_h(g) 的 Levi 子代数的 R-矩阵在可积范畴 O 模上赋予辫子考克斯eter结构。
• 通过 2-范畴化的 Etingof-Kazhdan 量化，将此结构从 U_h(g) 推广至底层李代数 g 的可积范畴 O 表示。
• 提供对量子 Weyl 群算子的单值描述，该描述推广了对半单李代数的先前结果。

提出的方法

• 通过类似于结合律约束的协调数据定义辫子考克斯eter范畴，其与纤维函子族相关联。
• 利用 arXiv:1610.09744 中提出的 Etingof-Kazhdan 量化在 2-范畴上的推广，将结构从 U_h(g) 提升至范畴 O。
• 利用量子 Weyl 群算子与 Levi 子代数的通用 R-矩阵在范畴 O 中对象的张量幂上的作用。
• 通过与张量范畴结合律的形式类比，建立广义 braid 群 B_W 与阿廷 braid 群 B_n 在张量幂上作用的相容性。
• 利用来自纤维函子的协调条件，确保辫子考克斯eter结构的一致性。
• 通过 2-范畴化量化实现结构转移，从而在 g 的范畴 O 表示上获得辫子考克斯eter结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化一个张量范畴结构，使其在对象的张量幂上具有广义 braid 群与阿廷 braid 群的相容且彼此交换的作用？
• RQ2 量子 Weyl 群算子与通用 R-矩阵在赋予 U_h(g) 的范畴 O 模以辫子考克斯eter结构中起什么作用？
• RQ3 如何将 U_h(g)-模上的辫子考克斯eter结构转移至 g 的范畴 O 表示？
• RQ4 所构造的结构在何种意义上推广了对半单情形之外的量子 Weyl 群算子的单值描述？
• RQ5 哪些协调条件确保了该框架中 braid 群作用的一致性？

主要发现

• U_h(g) 的 Levi 子代数的量子 Weyl 群算子与通用 R-矩阵赋予可积范畴 O 模以明确定义的辫子考克斯eter结构。
• 该 U_h(g)-模上的辫子考克斯eter结构通过 2-范畴化的 Etingof-Kazhdan 量化程序被转移至 g 的可积范畴 O 表示。
• 所得结构提供了对量子 Weyl 群算子的单值描述，该描述推广了对半单李代数的早期结果。
• B_W 与 B_n 作用的相容性源于形式上类似于张量范畴结合律的协调数据。
• 该构造依赖于纤维函子的协调性，确保在张量幂族中的一致性。
• 该框架将量子 Weyl 群算子的单值解释推广至量化 Kac-Moody 代数。