[论文解读] Quasi-cyclic Codes of Index 1.5

Yun Fan, Hualu Liu|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文引入了一类新的线性码——索引为 $1.5$ 的准循环码，该类码在有限域上定义，通过混合循环置换作用下的多项式与矩阵表示构造而成。利用随机构造方法，作者证明这些码在渐近意义上是优良的，实现了正速率（$1/3$）且相对最小距离远离零，从而在任意有限域下确立了其渐近存在性。

ABSTRACT

We introduce quasi-cyclic codes of index 1.5, construct such codes in terms of polynomials and matrices; and prove that the quasi-cyclic codes of index 1.5 are asymptotically good.

研究动机与目标

• 定义并形式化一类具有分数索引的新型线性码，特别是索引 $1.5$，以弥合循环码（索引 1）与索引 2 的准循环码之间的差距。
• 解决关于分数索引码是否可实现渐近优良性的开放问题，将理论拓展至非整数索引范围。
• 利用有限域上的多项式与矩阵表示构造此类码，借助群环与商环结构。
• 通过概率与随机编码论证，证明该新类中存在渐近优良的码序列。

提出的方法

• 将索引为 $1.5$、共索引为 $2m$ 的准循环码定义为 $F^{2m} \times F^m$ 的子空间，在由长度为 $2m$ 和 $m$ 的不相交循环构成的置换作用下不变，该置换生成一个阶为 $2m$ 的循环群。
• 使用环 $R_{2m} = F[X]/\langle X^{2m}-1 \rangle$ 和 $R_m = F[X]/\langle X^m - 1 \rangle$ 的元素表示这些码，将码字识别为多项式对 $(a(X), a'(X))$。
• 通过在相应理想下随机选取多项式 $a(X)$ 和 $a'(X)$，构造随机码 $C^{(i)}_{a,a'}$，其索引为 $1.5$，共索引为 $2m_i$。
• 利用 $q$-元熵函数 $h_q(x)$ 的基于熵的界分析相对最小距离，推导出 $\Delta(C^{(i)}_{a,a'}) > \delta$ 的概率下界。
• 通过分析 $\frac{X^{m_i}-1}{X-1}$ 的不可约因子，研究随机码的维数，证明 $\dim C^{(i)}_{a,a'} = m_i - 1$ 的概率趋于 1。
• 结合距离与维数的概率界，证明对于任意 $\delta < \frac{2}{3}h_q^{-1}(1/2)$，码率收敛至 $1/3$，且相对最小距离在渐近意义下超过 $\delta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限域线性码中对分数索引（特别是 $1.5$）的准循环码进行有意义的定义与构造？
• RQ2 索引为 $1.5$ 的此类码是否具有渐近优良的码序列，即码率与相对最小距离均远离零？
• RQ3 能否使用随机构造方法证明该新类中渐近优良码的存在性？
• RQ4 随着共索引增大，此类码的极限码率与最小距离行为如何？
• RQ5 在渐近范围内，随机 $1.5$-索引码的相对最小距离行为如何？其正下界存在的阈值是什么？

主要发现

• 本文证明了索引为 $1.5$ 的准循环码是渐近优良的，即存在此类码的序列，其码率与相对最小距离均远离零。
• 对于任意有限域 $F_q$，存在一列索引为 $1.5$ 的准循环码，当共索引 $2m_i \to \infty$ 时，其码率趋近于 $1/3$。
• 此类码的相对最小距离 $\Delta(C_i)$ 对所有 $i$ 均超过 $\delta$，其中 $\delta < \frac{2}{3}h_q^{-1}(1/2)$，且该界为定量给出（例如，当 $q=3$ 时，$\delta > 0.106$）。
• 在给定 $\delta$ 条件下，随机索引为 $1.5$ 的码具有相对最小距离大于 $\delta$ 的概率随 $i \to \infty$ 而趋于 1。
• 随机码 $C^{(i)}_{a,a'}$ 的维数以趋于 1 的概率为 $m_i - 1$，从而确保码率收敛至 $1/3$。
• 该构造依赖于对 $X^m - 1$ 不可约因子的概率分析，且界通过 $q$-元熵函数 $h_q(x)$ 推导得出。