[论文解读] Quasi-diagonalization of Hankel operators

D. R. Yafaev|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文通过拉普拉斯变换提出了一种霍尔克赫姆算子的准对角化框架，表明每个霍尔克赫姆算子 $ H $ 均可表示为 $ H = \mathcal{L}^* \Sigma \mathcal{L} $，其中 $ \Sigma $ 为乘以一个 $ \sigma $-函数 $ \sigma(\lambda) $ 的算子。其主要贡献在于建立了霍尔克赫姆核 $ h(t) $ 与其 $ \sigma $-函数 $ \sigma(\lambda) $ 之间的一一对应关系，从而可通过 $ \Sigma $ 实现谱分析，且 $ H $ 与 $ \Sigma $ 拥有相同数量的正负特征值。

ABSTRACT

We show that all Hankel operators $H$ realized as integral operators with kernels $h(t+s)$ in $L^2 ({\Bbb R}_{+}) $ can be quasi-diagonalized as $H= {\sf L}^* Σ{\sf L} $. Here ${\sf L}$ is the Laplace transform, $Σ$ is the operator of multiplication by a function (distribution) $σ(λ)$, $λ\in {\Bbb R}$. We find a scale of spaces of test functions where ${\sf L} $ acts as an isomorphism. Then ${\sf L}^*$ is an isomorphism of the corresponding spaces of distributions. We show that $h= {\sf L}^* σ$ which yields a one-to-one correspondence between kernels $h(t)$ and sigma-functions $σ(λ)$ of Hankel operators. The sigma-function of a self-adjoint Hankel operator $H$ contains substantial information about its spectral properties. Thus we show that the operators $H$ and $Σ$ have the same numbers of positive and negatives eigenvalues. In particular, we find necessary and sufficient conditions for sign-definiteness of Hankel operators. These results are illustrated at examples of quasi-Carleman operators generalizing the classical Carleman operator with kernel $h(t)=t^{-1}$ in various directions. The concept of the sigma-function directly leads to a criterion (equivalent of course to the classical Nehari theorem) for boundedness of Hankel operators. Our construction also shows that every Hankel operator is unitarily equivalent by the Mellin transform to a pseudo-differential operator with amplitude which is a product of functions of one variable only (of $x\in{\Bbb R}$ and of its dual variable).

研究动机与目标

• 建立 $ L^2(\mathbb{R}_+) $ 中所有霍尔克赫姆算子的通用准对角化方法，无论其核是否具有解析性。
• 定义并表征 $ \sigma(\lambda) $ 为霍尔克赫姆核 $ h(t) $ 的双边拉普拉斯变换，即使 $ \sigma $ 为分布亦成立。
• 证明 $ H $ 与 $ \Sigma $ 的正负特征值总数相等，即 $ N_\pm(H) = N_\pm(\Sigma) $，从而可通过 $ \sigma(\lambda) $ 实现谱分类。
• 利用 $ \sigma $-函数提供霍尔克赫姆算子定号性的充要条件。
• 通过 Hausdorff 矩问题将该框架推广至离散霍尔克赫姆算子，并在梅林变换下建立酉等价关系。

提出的方法

• 将霍尔克赫姆算子 $ H $ 表示为 $ H = \mathcal{L}^* \Sigma \mathcal{L} $，其中 $ \mathcal{L} $ 为拉普拉斯变换，$ \Sigma $ 为乘以 $ \sigma(\lambda) $ 的算子。
• 将 $ \sigma(\lambda) $ 定义为核 $ h(t) $ 的逆双边拉普拉斯变换，即 $ h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t\lambda} \sigma(\lambda) d\lambda $。
• 建立测试函数空间的尺度，使得 $ \mathcal{L} $ 作为同构作用，确保 $ \mathcal{L}^* $ 在对偶分布空间上亦为同构。
• 利用测度 $ dM_\varphi(\lambda) $ 的估计及控制收敛定理，证明二次型可通过 $ \sigma(\lambda) $ 表示。
• 对光滑紧支集函数 $ \varphi_\varepsilon $ 应用拉普拉斯变换以逼近 $ F \in C_0^\infty(\mathbb{R}_+) $，从而实现对目标表示的收敛。
• 通过梅林变换建立霍尔克赫姆算子与伪微分算子之间的酉等价关系，其振幅依赖于分离变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有霍尔克赫姆算子是否均可通过拉普拉斯变换实现准对角化，即使其核不具解析性？
• RQ2 $ \sigma $-函数 $ \sigma(\lambda) $ 在确定霍尔克赫姆算子谱性质方面的确切作用是什么？
• RQ3 $ h(t) $ 与 $ \sigma(\lambda) $ 之间的对应关系如何实现对定号性与特征值数量的分类？
• RQ4 在何种条件下，$ \mathcal{L} $ 与 $ \mathcal{L}^* $ 在适当的函数空间与分布空间上为同构？
• RQ5 该准对角化框架如何推广至离散霍尔克赫姆算子及 Hausdorff 矩问题？

主要发现

• 每个霍尔克赫姆算子 $ H $ 均可准对角化为 $ H = \mathcal{L}^* \Sigma \mathcal{L} $，其中 $ \Sigma $ 为乘以 $ \sigma(\lambda) $ 的算子，而 $ \sigma(\lambda) $ 为 $ h(t) $ 的双边拉普拉斯变换。
• $ \sigma(\lambda) $ 一般为分布，即使对于光滑核 $ h(t) $ 亦然，例如当 $ h(t) = t^k e^{-\alpha t} $ 时，有 $ \sigma(\lambda) = \delta^{(k)}(\lambda - \alpha) $。
• $ H $ 与 $ \Sigma $ 的正负特征值总数相等：$ N_\pm(H) = N_\pm(\Sigma) $。
• 若 $ \sigma(\lambda) > 0 $（或 $ < 0 $）在正测度集上成立，则 $ H $ 具有无穷多条正（或负）谱。
• $ \mathcal{L} $ 在测试函数空间尺度上为同构，且 $ \mathcal{L}^* $ 在对偶分布空间上亦为同构。
• 该框架导出了一类与经典 Nehari 定理等价的霍尔克赫姆算子有界性判据，其依据为 $ \sigma(\lambda) $ 的增长性。