[论文解读] Quasi-Euclidean tilings over 2-dimensional Artin groups and their applications

Jingyin Huang, Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用 9

一句话总结

该论文通过度量狭义性，利用原子扇形和交点图不变量，建立了二维Artin群中拟平坦子的完整组合描述。证明了CLTTF Artin群具有强拟等距刚性，其拟等距映射在某种意义下均匀接近自同构，并为该类群提供了强刚性的充分必要条件。

ABSTRACT

We describe the structure of quasiflats in two-dimensio\-nal Artin groups. We rely on the notion of metric systolicity developed in our previous work. Using this weak form of non-positive curvature and analyzing in details the combinatorics of tilings of the plane we describe precisely the building blocks for quasiflats in all two-dimensional Artin groups -- atomic sectors. This allows us to provide useful quasi-isometry invariants for such groups -- completions of atomic sectors, stable lines, and the intersection pattern of certain abelian subgroups. These are described combinatorially, in terms of the structure of the graph defining an Artin group. As an important tool, we introduce an analogue of the curve complex in the context of two-dimensional Artin groups -- the intersection graph. We show quasi-isometric invariance of the intersection graph under natural assumptions. As immediate consequences we present a number of results concerning quasi-isometric rigidity for the subclass of CLTTF Artin groups. We give a necessary and sufficient condition for such groups to be strongly rigid (self quasi-isometries are close to automorphisms), we describe quasi-isometry groups, we indicate when quasi-isometries imply isomorphisms for such groups. In particular, there exist many strongly rigid large-type Artin groups. In contrast, none of the right-angled Artin groups are strongly rigid by a previous work of Bestvina, Kleiner and Sageev.

研究动机与目标

• 理解二维Artin群中拟平坦子的几何结构，这些群被猜想具有非正曲率性质。
• 发展组合不变量——原子扇形的完备化、稳定直线和交点图——以捕捉拟等距性质。
• 为CLTTF Artin群建立强拟等距刚性，证明其拟等距映射在某种意义下均匀接近群自同构。
• 通过引入平坦子的交点图这一新不变量，将刚性结果推广至非右角Artin群（在该类群中强刚性不成立）。
• 研究何时拟等距映射蕴含同构，以及交点图何时为Gromov双曲，从而推广右角情形下的已知结果。

提出的方法

• 以度量狭义性——一种弱形式的非正曲率——作为分析拟平坦子的基础几何框架。
• 引入原子扇形作为拟平坦子的基本构建块，其来源于单连通覆叠中圆盘图的局部组合结构。
• 构建平坦子的交点图（类比于曲线复形），其顶点对应原子扇形，边对应非平凡交集。
• 在自然假设下，利用平坦子复形的稳定性及奇异射线的结构，证明该交点图为拟等距不变量。
• 应用半Coxeter区域及拟平坦展开中边方向的理论，对平坦点和奇异射线进行分类。
• 通过奇异射线的展开（普通型、Coxeter型、钻石型）分析拟平坦子的全局结构及其稳定子。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时两个二维Artin群是拟等距的，何时这会蕴含同构？
• RQ2 在何种条件下，原子扇形的交点图为二维Artin群的拟等距不变量？
• RQ3 何时CLTTF Artin群具有强拟等距刚性（即每个拟等距映射在某种意义下均匀接近自同构）？
• RQ4 二维Artin群的平坦子交点图是否为Gromov双曲？这与层次双曲性有何关联？
• RQ5 何时二维Artin群的自同构诱导出交点图的图自同构，反之亦然？

主要发现

• 所有二维Artin群均为度量狭义性，从而可通过局部组合结构对拟平坦子进行详细分析。
• 二维Artin群中的拟平坦子由原子扇形构成，原子扇形是被阿贝尔子群稳定的最小平坦子复形。
• 在自然假设下，原子扇形的交点图为二维Artin群的拟等距不变量。
• 对于CLTTF Artin群，本文给出了强拟等距刚性的充分必要条件：外自同构群必须有限，且交点图必须在拟等距映射下保持不变。
• 存在大量强刚性的大类型Artin群，与之相反，右角Artin群永远不具有强刚性。
• 当定义图缺乏完全对称性时，本文构造了一个不均匀接近任何自同构的拟等距映射，从而证明了刚性条件的紧致性。