[论文解读] Quasi-exceptional sets and equivariant coherent sheaves on the nilpotent cone

Roman Bezrukavnikov|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Algebraic structures and combinatorial models被引用 10

一句话总结

该论文通过在亏格丛上的G-等变凝聚层的导出范畴上引入一个新的t-结构，建立了主导权与幂零轨道及其中心化子的不可约表示对之间的双射。通过证明由中间perversity定义的 perverse t-结构与由标准对象的拟例外集定义的t-结构一致，该研究构建了不可约对象（以(O,L)为指标）与主导权之间的规范对应关系，通过几何表示理论解决了Lusztig与Vogan的一个猜想。

ABSTRACT

In math.AG/0005152 a certain $t$-structure on the derived category of equivariant coherent sheaves on the nil-cone of a simple complex algebraic group was introduced (the so-called perverse $t$-structure corresponding to the middle perversity). In the present note we show that the same $t$-structure can be obtained from a natural quasi-exceptional set generating this derived category. As a consequence we obtain a bijection between the sets of dominant weights and pairs consisting of a nilpotent orbit, and an irreducible representation of the centralizer of this element, conjectured by Lusztig and Vogan (and obtained by other means in math.RT/0010089).

研究动机与目标

• 构建主导权集合Λ⁺与由幂零轨道O及其中心化子的不可约表示L组成的对(O,L)之间的规范双射。
• 通过拟例外集直接构造Dᵇ(Cohᴳ(𝒩))上的perverse t-结构，避免依赖几何Langlands程序的深奥结果。
• 证明该t-结构的核是拟旗态的，其标准对象与共轭标准对象由主导权指标化。
• 建立该t-结构核中的不可约对象恰好为以(O,L) ∈ O为指标的交点上同调层IC_{O,L}。
• 提供Lusztig–Vogan双射的新、初等证明，独立于[B1]与[G]中的方法。

提出的方法

• 通过由主导权λ ∈ Λ⁺指标的对偶可逆拟例外集{∇^λ = A_λ[d]}在Dᵇ(Cohᴳ(𝒩))上定义一个新的t-结构。
• 证明集合{∇^λ}构成一个生成导出范畴的拟例外集，且其关联的t-结构等价于中间perversity的perverse t-结构。
• 证明该t-结构的核𝒫是拟旗态的，其共轭标准对象为∇^λ，不可约对象为IC_{O,L}，分别由(O,L) ∈ O和λ ∈ Λ⁺指标。
• 利用Springer提升π: 𝒩̃ → 𝒩是半小的，且π_*保持上同调维数的性质，验证A_λ[d]属于该t-结构的中心。
• 通过对偶性和恰当基变换，证明A_λ[d]的对偶为A_{-λ}[d]，从而确认t-结构公理。
• 通过在轨道上的逐点上同调消失条件，建立拟例外集定义的t-结构与perverse t-结构之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖仿射旗流形上的perversity层的前提下，直接从拟例外集构造Dᵇ(Cohᴳ(𝒩))上的perverse t-结构？
• RQ2 是否存在主导权与幂零轨道及其中心化子不可约表示对(O,L)之间的规范双射？
• RQ3 Dᵇ(Cohᴳ(𝒩))上的perverse t-结构的核是否具有拟旗态结构，其标准对象与共轭标准对象由Λ⁺指标化？
• RQ4 核中的不可约对象能否被识别为交点上同调层IC_{O,L}？
• RQ5 不可约对象基{[IC_{O,L}]}与共轭标准对象基{[A_λ[d]]}之间的过渡矩阵是否为对角线上为1的上三角矩阵？

主要发现

• 对应于中间perversity的Dᵇ(Cohᴳ(𝒩))上的perverse t-结构，与由主导权λ ∈ Λ⁺指标的拟例外集{A_λ[d]}定义的t-结构完全一致。
• 该t-结构的核𝒫是一个拟旗态范畴，其不可约对象为{IC_{O,L}}（(O,L) ∈ O为指标），共轭标准对象为{A_λ[d]}（λ ∈ Λ⁺为指标）。
• 通过条件Hom(IC_{O_λ,L_λ}, A_λ[d]) ≠ 0，建立了Λ⁺与O之间的规范双射。
• 不可约对象基{[IC_{O,L}]}与共轭标准对象基{[A_λ]}之间的过渡矩阵为对角线上为1的上三角矩阵，确认了双射的规范性。
• K⁰(Cohᴳ(𝒩))的格罗滕迪克群由{[IC_{O,L}]}与{[A_λ]}自由生成，且基变换矩阵模v⁻¹为上三角矩阵。
• 该结果提供了Lusztig–Vogan双射的新证明，独立于几何Langlands对应以及[B1]与[G]的结果。