[论文解读] Quasi-Fuchsian 3-Manifolds and Metrics on Teichmüller Space

Ren Guo, Zheng Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文研究近乎 Fuchsian 3-流形——即包含一个主曲率在 (−1,1) 内的极小曲面的拟 Fuchsian 流形——并证明其平行曲面在 Teichmüller 空间中所描绘的路径连接了两个边界分量的共形结构。本文推导出 Teichmüller 距离的显式上界，以极小曲面的最大主曲率表示，并通过极小曲面上面积函数的二阶变分引入了 Weil-Petersson 度量的新势函数。

ABSTRACT

An almost Fuchsian 3-manifold is a quasi-Fuchsian manifold which contains an incompressible closed minimal surface with principal curvatures in the range of $(-1,1)$. Such a 3-manifold $M$ admits a foliation of parallel surfaces, whose locus in Teichmüller space is represented as a path $γ$, we show that $γ$ joins the conformal structures of the two components of the conformal boundary of $M$. Moreover, we obtain an upper bound for the Teichmüller distance between any two points on $γ$, in particular, the Teichmüller distance between the two components of the conformal boundary of $M$, in terms of the principal curvatures of the minimal surface in $M$. We also establish a new potential for the Weil-Petersson metric on Teichmüller space.

研究动机与目标

• 通过平行曲面叶状结构理解近乎 Fuchsian 3-流形与 Teichmüller 空间之间的几何关系。
• 以极小曲面的最大主曲率表示，建立叶状结构中任意两个曲面之间 Teichmüller 距离的上界。
• 证明叶状结构在 Teichmüller 空间中所描绘的路径连接了两个共形边界分量的共形结构。
• 利用极小曲面上面积泛函的二阶变分，在 Teichmüller 空间上构造 Weil-Petersson 度量的新势函数。

提出的方法

• 利用 Uhlenbeck 的结果：近乎 Fuchsian 流形包含一条从唯一极小曲面发出的平行曲面叶状结构。
• 追踪由这些平行曲面的共形结构在 Teichmüller 空间中形成的路径 γ(M)。
• 应用 Epstein 的构造，并利用双曲几何与双曲 3-空间中极小曲面的高斯方程进行估计。
• 推导出极小曲面上诱导度量的共形因子关于第二基本形式的拟线性椭圆型偏微分方程。
• 计算以全纯二次微分参数化的极小曲面族上面积泛函的一阶与二阶变分。
• 通过在双曲曲面上对 Laplace-Beltrami 算子进行积分，将面积泛函的二阶变分与 Weil-Petersson 配对联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟 Fuchsian 3-流形中，平行曲面所描绘的路径如何与边界分量的共形结构相关？
• RQ2 以极小曲面的主曲率表示，叶状结构中曲面之间的 Teichmüller 距离可建立何种上界？
• RQ3 极小曲面上面积泛函的二阶变分能否导出 Weil-Petersson 度量的新势函数？
• RQ4 极小曲面的最大主曲率如何约束两个共形边界之间的 Teichmüller 距离？

主要发现

• 叶状结构在 Teichmüller 空间中所描绘的路径 γ(M) 连接了近乎 Fuchsian 3-流形两个边界分量的共形结构。
• 极小曲面 S 与平行曲面 S(r) 之间的 Teichmüller 距离上界为 (1/2)|log((1 + λ₀ tanh(r))/(1 − λ₀ tanh(r)))|，其中 λ₀ 是 S 上的最大主曲率。
• 任意两个平行曲面 S(r₁) 与 S(r₂) 之间的 Teichmüller 距离上界为 (1/2)|log((1 + λ₀ tanh(r₂))/(1 − λ₀ tanh(r₂))) − log((1 + λ₀ tanh(r₁))/(1 − λ₀ tanh(r₁)))|。
• 两个共形边界分量之间的 Teichmüller 距离上界为 log((1 + λ₀)/(1 − λ₀))。
• 在 Fuchsian 位置处，面积泛函的二阶变分为 Weil-Petersson 对应全纯二次微分的配对，从而确立了 Weil-Petersson 度量的新势函数。
• 面积泛函在 Fuchsian 位置（t=0）处取临界值，且当第二基本形式为零时二阶变分为零，确认在 Fuchsian 情况下极小曲面是面积临界曲面。