[论文解读] Quasi-Fuchsian Surfaces In Hyperbolic Link Complements

Joseph D. Masters, Xingru Zhang|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文证明了每个双曲链路补全都包含闭的拟Fuchsian曲面，通过截断I-丛的有限覆叠的凸粘合并以锥面封顶来构造这些曲面。关键结果是，此类链路的所有但有限多个Dehn填充都会产生包含闭不可压缩曲面的流形，将先前针对纽结的结果推广至链路，使用了子群分离性和特征簇技术。

ABSTRACT

We show that every hyperbolic link complement contains closed quasi-Fuchsian surfaces. As a consequence, we obtain the result that on a hyperbolic link complement, if we remove from each cusp of the manifold a certain finite set of slopes, then all remaining Dehn fillings on the link complement yield manifolds with closed immersed incompressible surfaces.

研究动机与目标

• 将双曲纽结补全中闭的拟Fuchsian曲面的存在性推广至双曲链路补全。
• 建立对于任意双曲链路补全，除有限多个外的所有Dehn填充都会产生包含闭不可压缩曲面的流形。
• 通过截断I-丛的有限覆叠的凸粘合与以锥面封顶来构造此类曲面。
• 验证确保所得曲面为拟Fuchsian且不可压缩的拓扑与几何条件。

提出的方法

• 在链路外部构造两个具有不同边界斜率的恰当嵌入有界拟Fuchsian曲面，每个锥面各一个。
• 利用$SL_2(\mathbb{C})$特征簇及具有意外抛物线的本质曲面的性质，确保此类曲面的存在。
• 取与曲面群相关的截断I-丛的有限覆叠，以实现嵌入与子群分离性。
• 对覆叠进行凸粘合，并以对应于边界曲线幂生成的锥面群子群的实心锥面封顶。
• 将覆叠的边界分量与锥面覆叠中的对应分量配对，形成一个连通的、凸的双曲3-流形，其存在局部等距映射至原始链路补全。
• 应用加厚与挖空技术，构造一个完备的凸双曲3-流形，其边界分量在局部等距下映射至闭的拟Fuchsian曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个双曲链路补全是否都至少包含一个闭的拟Fuchsian曲面？
• RQ2 能否将纽结补全中闭的拟Fuchsian曲面的构造方法推广至多分量链路？
• RQ3 Dehn填充斜率的何种条件可确保结果流形包含闭不可压缩曲面？
• RQ4 如何利用具有边界的曲面群的子群分离性，将有限覆叠嵌入链路补全？
• RQ5 意外抛物线与特征簇性质在确保具有不同边界斜率的曲面存在方面起什么作用？

主要发现

• 每个双曲链路补全都至少包含一个闭的拟Fuchsian曲面，将此前仅对双曲纽结成立的结果推广至链路。
• 对于任意双曲链路补全，除有限多个外的所有Dehn填充都会产生包含闭不可压缩曲面的流形。
• 该构造依赖于在每个锥面上找到两个具有不同边界斜率的有界拟Fuchsian曲面，此结果通过特征簇与本质曲面理论得以确立。
• 使用截断I-丛的有限覆叠以实现嵌入与子群分离性，从而支持凸粘合与封顶。
• 所得凸双曲3-流形存在局部等距映射至原始链路补全，且每个边界分量在该映射下映射至一个闭的拟Fuchsian曲面。
• 对所构造流形进行Dehn填充后得到$HS$-流形，其边界不可压缩，从而证实了所得曲面的不可压缩性。