[论文解读] Quasi-geostrophic model of the instabilities of the Stewartson layer

Nathanaël Schaeffer, Philippe Cardin|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2003

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种类地转二维模型，用于研究旋转轴对称容器中斯图亚特森剪切层的不稳定性，通过非散度流正确处理质量守恒。推导了临界罗斯比数的渐近标度律，显示在平坦容器中为 $E^{3/4}$ 依赖（类似开尔文-赫姆霍兹不稳定性），在斜面容器中为 $\beta E^{1/2}$ 依赖（罗斯比波不稳定性），并通过低埃克曼数下的数值模拟和实验得到验证。

ABSTRACT

We study the destabilization of a shear layer, produced by differential rotation of a rotating axisymmetric container. For small forcing, this produces a shear layer, which has been studied by Stewartson and is almost invariant along the rotation axis. When the forcing increases, instabilities develop. To study the asymptotic regime (very low Ekman number $E$), we develop a quasi-geostrophic two-dimensional model, whose main original feature is to handle the mass conservation correctly, resulting in a divergent two-dimensional flow, and valid for any container provided that the top and bottom have finite slopes. We use it to derive scalings and asymptotic laws by a simple linear theory, extending the previous analyses to large slopes (as in a sphere), for which we find different scaling laws. For a flat container, the critical Rossby number for the onset of instability evolves as $E^{3/4}$ and may be understood as a Kelvin-Helmoltz shear instability. For a sloping container, the instability is a Rossby wave with a critical Rossby number proportional to $βE^{1/2}$, where $β$ is related to the slope. We also investigate the asymmetry between positive and negative differential rotation and propose corrections for finite Ekman and Rossby numbers. Implemented in a numerical code, our model allows us to study the onset over a broad range of parameters, determining the threshold but also other features such as the spatial structure. We also present a few experimental results, validating our model and showing its limits.

研究动机与目标

• 分析在具有有限倾角边界的快速旋转容器中，斯图亚特森剪切层的线性不稳定性。
• 将现有渐近标度律从平面几何外推至球形和斜面容器。
• 开发一种类地转模型，通过二维非散度流正确处理质量守恒。
• 在广泛的埃克曼数和容器几何下，确定不稳定性的临界罗斯比数。
• 将模型与数值模拟和实验室实验进行对比，特别是在与地球物理和行星流动相关的低埃克曼数区域。

提出的方法

• 构建一种包含非散度流的类地转二维模型，以在旋转剪切层中正确实现质量守恒。
• 利用线性稳定性理论，推导平坦和斜面容器几何下的渐近标度律。
• 引入一种改进的压力方程，包含埃克曼摩擦和科里奥利效应，并引入β参数表示容器倾角。
• 在无滑移边界条件下，使用自适应径向网格分辨率的谱方法求解流函数ψ的特征值问题。
• 在广泛的埃克曼数范围（从 $10^{-5}$ 到 $10^{-10}$）内进行数值模拟，以确定不稳定的临界阈值。
• 将模型预测与水箱实验在球形和圆盘形几何下的实验数据进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯图亚特森层中临界罗斯比数的标度律如何依赖于容器几何，特别是斜面与平坦边界的差异？
• RQ2 在类地转模型中，非散度流的作用是什么？它如何通过更准确地捕捉不稳定性阈值，改进非散度近似？
• RQ3 为何在平坦容器中临界罗斯比数呈现 $E^{3/4}$ 依赖，而在斜面容器中为 $\beta E^{1/2}$ 依赖？其背后的物理机制是什么？
• RQ4 有限的埃克曼数和罗斯比数如何影响正负剪切旋转之间不稳定阈值的不对称性？
• RQ5 该类地转模型在极低埃克曼数（$E < 10^{-5}$）下，能多大程度上再现实验和数值结果，这些结果与行星内部流动密切相关？

主要发现

• 在平坦容器中，临界罗斯比数呈现 $\mbox{{Ro}}_c \sim E^{3/4}$ 依赖，与开尔文-赫姆霍兹剪切不稳定性机制一致。
• 在斜面容器中，临界罗斯比数呈现 $\mbox{{Ro}}_c \sim \beta E^{1/2}$ 依赖，表明由容器倾角驱动的罗斯比波不稳定性。
• 该模型在广泛的埃克曼数范围（$10^{-5}$ 至 $10^{-10}$）内准确预测了不稳定性阈值，与数值模拟和实验室实验结果高度一致。
• 球形壳体的实验数据与模型吻合良好，临界罗斯比数从 $E = 10^{-5}$ 时的 $4.0 \times 10^{-2}$ 变化至 $E = 10^{-10}$ 时的 $5.4 \times 10^{-5}$。
• 模型揭示了正负剪切旋转之间存在显著不对称性，负旋转方向的不稳定性更强，而这种效应通过引入有限的埃克曼数和罗斯比数效应得到修正。
• 边界条件敏感性测试表明，无滑移条件和埃克曼抽吸对 $\mbox{{Ro}}_c$ 有显著影响，而水平非散度和体粘度的影响较小但不可忽略。