[论文解读] Quasi-Integrability of The KdV System

Kumar Abhinav, Partha Guha|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过在环代数框架下采用非守恒哈密顿量变形方法，提出了一种Korteweg-de Vries（KdV）方程的准可积形变，得到了无限多个异常守恒律以及至少一个守恒荷的高阶导数KdV系统族。该方法通过弱耦合对应关系与准可积NLS系统建立直接联系，实现了具有标度对称性的单孤立子解，并将该概念推广至复耦合KdV系统。

ABSTRACT

The quasi-integrable KdV equation has been obtained from the corresponding deformation of the Hamiltonian for the usual KdV system. Following suitable gauge-fixing, it has been found that the quasi-conservation condition is satisfied and an infinite number of anomalous conservation laws are obtained, with some containing possible conserved charges. Judicious choice of deformation of the Hamiltonian clearly leads to a conserved charge, manifesting quasi-integrability, but also creates a hierarchy of higher-derivative equations with at least one conserved charge. A particular quasi-deformation parameterization of the Hamiltonian is found to complement the same of the NLS system, following an approximate equivalence of the two systems obtained earlier, in the weak coupling limit. Single-soliton solutions for all these cases are obtained, with manifest scaling due to the quasi-integrable deformation. Finally, quasi-conservation formulation for the complex coupled generalized KdV system is obtained.

研究动机与目标

• 在缺乏标准Lax对用于此类形变的情况下，发展KdV方程的准可积形变。
• 通过非守恒哈密顿量形变方法，解决KdV等高阶偏微分方程缺乏动态Lax对演化的问题。
• 通过弱耦合对应关系，建立准可积KdV系统与先前研究的准可积NLS系统之间的联系。
• 系统地推导出具有至少一个守恒荷的高阶导数、准可积KdV扩展模型族。
• 利用环代数方法，将准守恒框架推广至复耦合广义KdV系统。

提出的方法

• 利用KdV系统的环代数表示，绕过传统Lax对形变在高阶系统中的局限性。
• 通过修改哈密顿量密度和振幅幂次，实施非守恒哈密顿量形变，避免依赖运动方程。
• 采用规范固定以满足准守恒条件，从而导出无限多个异常守恒律。
• 以形变哈密顿泛函的形式推导广义Lax对和曲率分量，明确的替换关系可将实KdV系统映射至复KdV系统。
• 采用微扰假设，在弱耦合极限下将形变KdV系统与准可积NLS系统联系起来。
• 在推导出的准守恒结构下求解形变方程，构造出具有标度对称性的显式单孤立子解。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏动态Lax对形变机制，KdV方程是否仍可实现准可积形变？
• RQ2 如何为高阶导数、三阶KdV型系统构建一致的准守恒律结构？
• RQ3 准可积KdV形变与先前研究的准可积NLS系统之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过单一形变参数化系统地推导出高阶导数、准可积KdV模型族？
• RQ5 复耦合广义KdV系统如何继承自实KdV情形的准可积性特性？

主要发现

• 通过非守恒哈密顿量形变方法实现了KdV系统的准可积形变，得到无限多个异常守恒律，且至少存在一个守恒荷。
• 特定形变参数化导致KdV方程的缩放版本，保持了具有明显标度对称性的单孤立子解。
• 该方法产生了一族高阶导数、准可积的KdV扩展系统，每个系统均至少具有一个守恒荷。
• 在弱耦合极限下，建立了与准可积NLS系统的直接映射，证实了与先前关于NLS准可积性的结果一致。
• 证明了复耦合广义KdV系统可接受准守恒形式表述，其异常项可表示为全空间导数形式。
• 为所有形变KdV系统推导出显式单孤立子解，证实了由于准可积形变而存在的标度不变性。