[论文解读] Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a non-Archimedean Banach space. II. Measures with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Jun 20, 2001

advanced mathematical theories参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文建立了非阿基米德域（如 $\mathbf{Q}_p$）上巴拿赫空间的经典测度论结果的非阿基米德类比，引入了取值于 $\mathbf{K}_s$ 的拟不变测度与拟微分测度。证明了非阿基米德版本的博赫纳-柯尔莫哥洛夫定理与明洛斯-萨佐诺夫定理，构造了无限乘积测度，并证明了非阿基米德版的卡鲁西-塔尼定理，同时在适当的测度空间拓扑中建立了这些测度的收敛定理。

ABSTRACT

Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a Banach space $X$ over a non-Archimedean locally compact infinite field with a non-trivial valuation are defined and constructed. Measures are considered with values in non-Archimedean fields, for example, the field $\bf Q_p$ of $p$- adic numbers. Theorems and criteria are formulated and proved about quasi-invariance and pseudo-differentiability of measures relative to linear and non-linear operators on $X$. Characteristic functionals of measures are studied. Moreover, the non-Archimedean analogs of the Bochner-Kolmogorov and Minlos-Sazonov theorems are investigated. Infinite products of measures are considered and the analog of the Kakutani theorem is proved. Convergence of quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in the corresponding spaces of measures is investigated.

研究动机与目标

• 将经典测度论结果（如拟不变性、拟微分性及特征泛函）推广至取值于 $\mathbf{Q}_p$ 等非阿基米德域上的巴拿赫空间。
• 探讨实值测度与 $\mathbf{K}_s$-值测度在 $\sigma$-可加性、可积性及收敛性方面的根本差异。
• 在非阿基米德巴拿赫空间上的线性与非线性变换下，构造广义的拟不变与拟微分测度类。
• 为测度的特征泛函建立非阿基米德版的博赫纳-柯尔莫哥洛夫与明洛斯-萨佐诺夫定理。
• 研究此类测度在测度空间中的收敛性，结合其拟不变性与拟微分性特征。

提出的方法

• 在非阿基米德域 $\mathbf{K}$ 上的巴拿赫空间 $X$ 上定义取值于 $\mathbf{Q}_s$ 的有限扩张的 $\mathbf{K}_s$-值测度。
• 引入弱分布与测度 $\mu$ 的特征泛函 $\theta(z) = \hat{\mu}(z)$，并在非阿基米德设定下研究其性质。
• 构造无限乘积测度，并证明非阿基米德版的卡鲁西-塔尼定理，用于判断乘积测度的等价性与奇异性。
• 通过广义导数算子 $\tilde{D}^b_{U_*}$ 定义测度的拟微分性，该算子在缺乏非平凡可微函数时替代经典微分性。
• 使用类埃gorov条件与适配于 $\mathbf{K}_s$-值测度的勒贝格收敛定理，分析测度空间中的收敛性。
• 应用 $\Phi_4$-滤子与 $\hat{\Phi}_4$-滤子来刻画变换下测度的收敛性与等价性，利用 $Bco(X)$ 的结构与类雷东正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于取值于 $\mathbf{K}_s$ 的测度的特征泛函，博赫纳-柯尔莫哥洛夫与明洛斯-萨佐诺夫定理的非阿基米德类比是什么？
• RQ2 如何在非阿基米德巴拿赫空间上定义并刻画 $\mathbf{K}_s$-值测度的拟不变性与拟微分性？
• RQ3 在测度空间中，何种条件可保证拟不变与拟微分测度序列的收敛性？
• RQ4 无限乘积测度的非阿基米德版卡鲁西-塔尼定理是什么？
• RQ5 与实值测度相比，$\mathbf{K}_s$-值测度在拓扑与代数性质上（特别是 $\sigma$-可加性与拉东-尼科迪姆性质）有何不同？

主要发现

• 建立了非阿基米德版的博赫纳-柯尔莫哥洛夫定理，通过 $\mathbf{K}_s$-值设定下的特征泛函刻画测度。
• 将明洛斯-萨佐诺夫定理推广至非阿基米德域，给出了在对偶空间上泛函源自测度的条件。
• 证明了非阿基米德巴拿赫空间上无限乘积测度的卡鲁西-塔尼定理类比，用于判断乘积测度的等价性与奇异性。
• 本文证明了拟微分测度必然是拟不变的，从而在非阿基米德框架下将两者联系起来。
• 建立了拟不变与拟微分测度序列的收敛定理（定理 5.7–5.10），采用类埃gorov条件与 $\mathbf{K}_s$-值 $L^1$-空间中的勒贝格型收敛。
• 利用 $\Phi_4$-滤子的存在性及其与 $\hat{\Phi}_4$-滤子的关系，刻画了变换后测度的收敛性，且 $\tilde{D}^b_{U_*}$-导数 $\mu$-几乎处处等于密度函数 $\rho_\mu(g,x)$。