[论文解读] Quasi-isometric rigidity of non-cocompact S-arithmetic lattices

Kevin Wortman|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

本文通过证明非共 compact S-算术群彼此 quasi-isometric 当且仅当它们源自同一数域上具有相同无穷远处位置集合的代数群，完成了对非共 compact S-算术群的拟等距分类。该结果在特征零的局部紧域上的半单李群的 S-算术格中建立了最终的刚性定理，解决了几何群论与几何刚性理论中长期存在的分类问题。

ABSTRACT

Throughout we let K be an algebraic number field, VK the set of all inequivalent valuations on K, and V ∞ K ⊆ VK the subset of archimedean valuations. We will use S to denote a finite subset of VK that contains V ∞ K, and we write the corresponding ring of S-integers in K as OS. In this paper, G will always be a connected non-commutative absolutely simple algebraic K-group. Any group of the form G(OS) is called an S-arithmetic group. For example, if m ∈ N, then PGLn(Z[1/m]) is an S-arithmetic group. The purpose of this paper is to complete the quasi-isometric classification of non-cocompact S-arithmetic groups that was begun by Schwartz, Farb, Eskin, and Taback. This is the final step in classifying up to quasi-isometry all of the lattices in semisimple Lie groups over nondiscrete locally compact fields of characteristic 0. Specifically, we show: Main Result. If G(OS) is a non-cocompact S-arithmetic group that is not

研究动机与目标

• 完成对非共 compact S-算术群的拟等距分类，该工作由 Schwartz、Farb、Eskin 和 Taback 初步开展。
• 在特征零的非离散局部紧域上的半单李群格中建立最终的刚性结果。
• 基于其代数与算术数据，确定何时两个非共 compact S-算术群是拟等距的。
• 将先前关于拟等距刚性的结果扩展至非共 compact 情形，填补分类计划中的主要空白。

提出的方法

• 利用 S-算术群 G(OS) 的结构，其中 G 是数域 K 上的连通非交换绝对单代数群。
• 应用拟等距刚性的几何方法，特别是利用 S-算术群在对称空间与建筑物上的作用。
• 运用整体域上代数群的理论以及数域中 S-整数的分类，分析群的拟等距类型。
• 依赖于集合 S 包含所有阿基米德位置的事实，确保 S-算术群是非共 compact 的，从而可进行几何分类。
• 利用对称空间的刚性与相关黎曼与欧氏建筑物的结构，以区分拟等距类型。
• 应用 S-算术群及其拟等距不变量（包括秩与根系数据）的理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时两个非共 compact S-算术群是拟等距的？
• RQ2 哪些代数与算术不变量决定了非共 compact S-算术群的拟等距类？
• RQ3 S 中包含所有阿基米德位置如何影响拟等距分类？
• RQ4 非共 compact 情形下，S-算术群的拟等距刚性能否被完全刻画？
• RQ5 G 的绝对单性与非交换性在分类中起什么作用？

主要发现

• 两个非共 compact S-算术群 G(OS) 与 G'(OS') 当且仅当它们源自同一数域 K 上的代数群 G，且 S 包含所有阿基米德位置时，彼此拟等距。
• 非共 compact S-算术群的拟等距类完全由群 G 与集合 S 决定，特别是由无穷远处的位置集合决定。
• 该结果完成了对特征零的非离散局部紧域上半单李群的所有格在拟等距下的分类。
• 证明表明，除代数群与集合 S 所捕获的不变量外，不存在其他拟等距不变量。
• 非共 compact 情形被证明具有与共 compact 情形相同的刚性，但具有不同的几何与算术约束。
• 最终分类通过几何群论、代数群论与数论的综合得以实现。