[论文解读] Quasi-isometries and rigidity of solvable groups

Alex Eskin, David Fisher+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了非幂零可解群的拟等距刚性，证明任何拟等距于三维可解李群 $\operatorname{Sol}$ 的有限生成群均为 $\operatorname{Sol}$ 中的拟晶格。作者引入了一种新颖的技术——粗略微分，用于分类可解李群的自拟等距映射，解决了长期存在的猜想，并将结果推广至灯笼工装群和Diestel-Leader图。

ABSTRACT

In this note, we announce the first results on quasi-isometric rigidity of non-nilpotent polycyclic groups. In particular, we prove that any group quasi-isometric to the three dimenionsional solvable Lie group Sol is virtually a lattice in Sol. We prove analogous results for groups quasi-isometric to $R \ltimes R^n$ where the semidirect product is defined by a diagonalizable matrix of determinant one with no eigenvalues on the unit circle. Our approach to these problems is to first classify all self quasi-isometries of the solvable Lie group. Our classification of self quasi-isometries for $R \ltimes \R^n$ proves a conjecture made by Farb and Mosher in [FM4]. Our techniques for studying quasi-isometries extend to some other classes of groups and spaces. In particular, we characterize groups quasi-isometric to any lamplighter group, answering a question of de la Harpe [dlH]. Also, we prove that certain Diestel-Leader graphs are not quasi-isometric to any finitely generated group, verifying a conjecture of Diestel and Leader from [DL] and answering a question of Woess from [SW],[Wo1]. We also prove that certain non-unimodular, non-hyperbolic solvable Lie groups are not quasi-isometric to finitely generated groups. The results in this paper are contributions to Gromov's program for classifying finitely generated groups up to quasi-isometry [Gr2]. We introduce a new technique for studying quasi-isometries, which we refer to as "coarse differentiation".

研究动机与目标

• 建立非幂零多循环群的拟等距刚性，特别是三维可解李群 $\operatorname{Sol}$。
• 分类由行列式为一且在单位圆上无特征值的可对角化矩阵定义的可解李群 $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$ 的自拟等距映射。
• 解决Farb和Mosher关于可解群拟等距刚性的猜想，以及Diestel和Leader关于Diestel-Leader图的猜想。
• 将拟等距刚性的适用范围扩展至灯笼工装群和非单模可解李群。
• 引入并应用粗略微分技术，作为一种研究拟等距映射的新方法，无需依赖渐近锥。

提出的方法

• 开发一种称为粗略微分的新技术，直接在度量空间上分析拟等距映射，避免使用渐近锥。
• 通过在方块中的测地线进行加权平均，构造一个在拟等距下粗略保持的测度，利用几何的非对称性。
• 利用粗略保持的高度函数防止方块内方向反转，确保几何结构的刚性。
• 将自拟等距映射的分类应用于通过在无穷远边界上的群作用推导刚性结果。
• 利用文献中的结果，包括Tullia Dymarz以及Mosher-Sageev-Whyte的工作，推导灯笼工装群和Diestel-Leader图的拟等距刚性。
• 证明某些非单模、非双曲的可解李群不拟等距同胚于任何有限生成群，使用相同的粗略微分框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否任何拟等距于 $\operatorname{Sol}$ 的群均为 $\operatorname{Sol}$ 中的拟晶格？
• RQ2 多循环群类是否具有拟等距刚性，即多循环性是否为几何性质？
• RQ3 Diestel-Leader图是否拟等距同胚于任何有限生成群？
• RQ4 灯笼工装群的拟等距类型能否通过几何方式表征？
• RQ5 非单模、非双曲的可解李群是否在有限生成世界中存在拟等距模型？

主要发现

• 任何拟等距于 $\operatorname{Sol}$ 的群均为 $\operatorname{Sol}$ 中的拟晶格，确立了非幂零可解群的首个拟等距刚性结果。
• 证明了 $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$（在指定矩阵作用下）的自拟等距映射群同构于保持相关可对角化作用的自同构群。
• Farb和Mosher关于可解群拟等距刚性的猜想在 $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}^n$ 类群（行列式为一、无单位特征值的矩阵）中得到证实。
• 证明了某些 $m \neq n$ 的Diestel-Leader图 $DL(m,n)$ 不拟等距同胚于任何有限生成群，验证了Diestel和Leader的猜想。
• 本文解决了de la Harpe提出的问题，表征了与灯笼工装群拟等距的群。
• 非单模、非双曲的可解李群不拟等距同胚于任何有限生成群，扩展了刚性结果的适用范围。