[论文解读] Quasi-isometry rigidity of right-angled Artin groups I: the finite out case

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文建立了外自同构群有限的右角Artin群（RAAGs）的拟等距刚性：当且仅当两个此类RAAGs同构时，它们才拟等距。当仅一个群的外自同构群有限时，拟等距意味着同构于一个有限指数子群，本文提供了基于定义图的算法来判断此情况。

ABSTRACT

Let $G$ and $G'$ be two right-angled Artin groups (RAAG). We show they are quasi-isometric iff they are isomorphic, under the assumption that $Out(G)$ and $Out(G')$ are finite. If only $Out(G)$ is finite, then $G'$ is quasi-isometric $G$ iff $G'$ is isomorphic to a finite index subgroup of $G$. In this case, we give an algorithm to determine whether $G$ and $G'$ are quasi-isometric by looking at their defining graphs.

研究动机与目标

• 在群的外自同构群满足有限性条件时，确定两个右角Artin群（RAAGs）何时拟等距。
• 建立一个刚性结果，表明当两个群的外自同构群都有限时，拟等距蕴含同构。
• 将该刚性结果扩展到仅一个群的外自同构群有限的情形，表明拟等距蕴含同构于一个有限指数子群。
• 开发一种算法方法，基于其定义图来判定两个RAAGs之间的拟等距关系。

提出的方法

• 使用几何群论技术，通过其定义图分析RAAGs的拟等距类型。
• 应用 $\mathrm{Out}(G)$ 和 $\mathrm{Out}(G')$ 的有限性，以限制RAAGs之间可能的拟等距映射。
• 通过分析其定义图的组合与拓扑性质，刻画RAAGs之间的拟等距关系。
• 将拟等距问题约化为群论问题：何时一个RAAG同构于另一个的有限指数子群？
• 构建一个算法，通过比较两个RAAGs的定义图，判断其中一个是否同构于另一个的有限指数子群。
• 利用关于RAAGs及其自同构结构的已知结果，建立拟等距与同构（或有限指数同构）之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，两个RAAGs之间的拟等距必然由同构诱导？
• RQ2 外自同构群 $\mathrm{Out}(G)$ 的有限性如何影响RAAGs的拟等距分类？
• RQ3 我们能否基于其定义图，算法性地判定两个RAAGs是否拟等距？
• RQ4 当两个RAAGs中仅有一个的外自同构群有限时，拟等距分类会发生什么变化？
• RQ5 RAAGs的定义图在多大程度上决定了其拟等距类型？

主要发现

• 若 $G$ 和 $G'$ 均为外自同构群有限的RAAGs，则 $G$ 与 $G'$ 拟等距当且仅当它们同构。
• 若仅 $G$ 的外自同构群有限，则 $G'$ 与 $G$ 拟等距当且仅当 $G'$ 同构于 $G$ 的一个有限指数子群。
• 本文提供了基于分析其定义图来判定RAAGs之间拟等距关系的决策程序。
• 当外自同构群有限时，RAAGs的定义图编码了足够信息以确定其拟等距类型。
• 即使仅一个群的 $\mathrm{Out}$ 有限，该刚性结果依然成立，从而将分类推广至有限指数子群。
• 该算法方法依赖于从定义图导出的组合不变量，以检测同构或有限指数同构关系。