[论文解读] Quasi likelihood analysis of point processes for ultra high frequency data

Teppei Ogihara, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一套适用于超高频金融数据的点过程回归模型的似然分析框架，将霍克斯型强度动态扩展至包含随机协变量的情形。该框架建立了统计随机场的多项式型大偏差估计，从而在非遍历性、高采样强度的条件下，为最大似然估计与贝叶斯估计提供了渐近理论支持。

ABSTRACT

We introduce a point process regression model that is applicable to price models and limit order book models. Hawkes type autoregression in the intensity process is generalized to a stochastic regression to covariate processes. We establish the so-called quasi likelihood analysis, which gives a polynomial type large deviation estimate for the statistical random field. We derive large sample properties of the maximum likelihood type estimator and the Bayesian type estimator when the intensity processes become large under a finite time horizon. There appears non-ergodic statistics. A classical approach is also mentioned.

研究动机与目标

• 解决因非遍历性及缺乏布朗运动而导致标准渐近理论失效的超高频金融数据中的统计推断挑战。
• 构建一个点过程回归模型，通过随机协变量与霍克斯型动态机制，捕捉领先-滞后效应、微观结构噪声与自激励现象。
• 建立似然分析（QLA）框架，推导在有限时间域渐近下、强度过程较大的情形中估计量的大样本性质。
• 为由超高频数据产生的非遍历统计模型中的最大似然与贝叶斯型估计量提供理论依据。
• 将经典统计理论拓展至适应高频点过程的独特特征，如非同步采样与微观结构效应。

提出的方法

• 提出一个d维点过程$ N^n $，其强度为$ \lambda^n(t,\theta) = g^n(t,\theta) + \int_{\hat{T}_0}^{t-} K^n(t,s,\theta) dX^n_s $，其中$ g^n $与$ K^n $分别为随机协变量与核函数。
• 将强度过程建模为对协变量$ g^n $、$ K^n $及适应的递增过程$ X^n $的随机回归，将霍克斯过程推广至包含随机协变量的情形。
• 应用似然分析（QLA）推导统计随机场的多项式型大偏差估计，从而在非遍历条件下实现渐近分析。
• 利用伦格塔不等式与鞅理论，证明交叉变差项依概率收敛至零，确保在高采样强度下估计量的稳定性。
• 通过QLA框架建立估计量的矩收敛性与渐近正态性，即使在底层过程非遍历的情况下亦成立。
• 借助雅科布定理与拉迪昂-尼科迪姆导数，分析鞅与半鞅分量之间的交叉变差，确保估计框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个点过程回归模型，以捕捉超高频金融数据中的自激励、外生效应与领先-滞后动态？
• RQ2 当强度过程在有限时间域内趋于极大时，最大似然与贝叶斯型估计量的渐近行为如何？
• RQ3 能否发展一种似然分析框架，以处理由高采样强度、非同步点过程引发的非遍历统计问题？
• RQ4 在估计框架中，哪些条件可确保鞅与半鞅分量之间交叉变差项的随机有界性与收敛性？
• RQ5 在缺乏标准遍历性假设的条件下，QLA框架如何实现多项式型大偏差估计？

主要发现

• 本文建立的似然分析框架可对统计随机场实现多项式型大偏差估计，即使在非遍历条件下亦成立。
• 在QLA框架下，最大似然与贝叶斯型估计量被证明具有一致性与渐近正态性，尽管缺乏遍历性假设。
• 随着采样频率增加，鞅与半鞅分量之间的交叉变差项依概率收敛至零，确保了估计量的稳定性。
• 利用伦格塔不等式证明了跳跃大小与交叉变差过程的上确界具有随机有界性，支持了收敛性结果。
• 该框架通过将强度建模为对协变量的随机回归，成功处理了高采样强度、非同步与受微观结构影响的数据。
• 理论结果可应用于现实金融模型，包括价格模型与限价订单簿动态，通过广义霍克斯型强度过程实现。