[论文解读] Quasi-lisse vertex algebras and modular linear differential equations

Tomoyuki Arakawa, Kazuya Kawasetsu|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 13

一句话总结

本文引入了拟光滑顶代数（quasi-lisse vertex algebras），作为光滑顶代数（lisse vertex algebras）的推广，并证明了此类代数上任意普通模的归一化特征标满足模线性微分方程（MLDE）。作为关键结果，本文推导出与Deligne例外系列相关联的简单仿射顶代数在水平 $-h^\vee/6 - 1$ 下的显式特征标公式，将4d $π}=2$ SCFT的Schur指标表示为拟模形式。

ABSTRACT

We introduce a notion of quasi-lisse vertex algebras, which generalizes admissible affine vertex algebras. We show that the normalized character of an ordinary module over a quasi-lisse vertex operator algebra has a modular invariance property, in the sense that it satisfies a modular linear differential equation. As an application we obtain the explicit character formulas of simple affine vertex algebras associated with the Deligne exceptional series at level $-h^{\vee}/6-1$, which express the homogeneous Schur indices of 4d SCFTs studied by Beem, Lemos, Liendo, Peelaers, Rastelli and van Rees, as quasi-modular forms.

研究动机与目标

• 将顶代数运算代数中的光滑（C2-有限）条件推广，以容纳非可积但行为良好的表示，如允许的仿射代数及来自4d SCFT的代数。
• 在光滑条件之外，为更广泛的顶代数类建立特征标的模不变性。
• 推导与Deligne例外系列相关联的简单仿射顶代数在水平 $-h^\vee/6 - 1$ 下的显式特征标公式，将其与4d SCFT指标的Schur极限联系起来。

提出的方法

• 将拟光滑顶代数定义为关联簇 $X_V$ 仅有有限多个辛叶的共形顶代数。
• 利用Zhu的 $C_2$-代数构造方法定义关联簇 $X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$，其中 $R_V = V/C_2(V)$，并分析其泊松结构。
• 应用模线性微分方程（MLDE）理论，证明拟光滑顶代数上普通模的归一化特征标满足MLDE。
• 利用特定中心荷与共形维数下MLDE的已知解，识别出给定顶代数的正确MLDE。
• 利用MLDE推导出涉及Eisenstein级数、Dedekind eta函数及拟模形式的显式特征标公式。
• 验证所得特征标与4d $π}=2$ SCFT已知的Schur指标表达式一致，尤其在非允许情形如 $D_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征标的模不变性是否可从光滑顶代数推广至包含允许仿射代数和SCFT导出代数的更广类？
• RQ2 何种 $C_2$-有限性条件的推广仍能保证特征标的模不变性？
• RQ3 与Deligne例外系列相关联的4d $π}=2$ SCFT的Schur指标是否可用统一的模形式或拟模形式描述？
• RQ4 能否使用MLDE为临界水平下的非允许仿射顶代数推导出显式特征标公式？
• RQ5 是否存在一个统一的MLDE，控制Deligne例外系列在水平 $-h^\vee/6 - 1$ 下顶代数的特征标？

主要发现

• 拟光滑顶代数上普通模的归一化特征标满足模线性微分方程（MLDE），推广了光滑VOA的模不变性。
• 对于Deligne例外系列在水平 $-h^\vee/6 - 1$ 下，其对应简单仿射顶代数的特征标可用模形式与拟模形式显式表达。
• 顶代数 $V_{-4/3}(A_1)$ 的特征标为 $\eta(3\tau)^3 / \eta(\tau)^3$，为权为0的模形式。
• 顶代数 $V_{-2}(D_4)$ 的特征标为 $E_4'(\tau)/(240\eta(\tau)^{10})$，为深度1的拟模形式。
• 顶代数 $V_{-4}(E_7)$ 的特征标涉及 $\Delta(\tau)$、$E_6(\tau)$、$E_4'(\tau)$ 与 $E_6(\tau)/\sqrt{\Delta(\tau)}$ 的多项式组合，证实其为拟模形式。
• MLDE中的系数为 $h^\vee$ 的有理函数，与Deligne的维数公式一致，其结构反映出例外系列深刻的算术性质。