[论文解读] Quasi-local Algebras and Asymptotic Expanders

Kang Li, Piotr W. Nowak+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文引入渐近膨胀图——一类推广了膨胀图的有限度量空间序列——并确立其在区分一致Roe代数与一致拟局部代数中的作用。证明了在粗不相交并集上，平均投影属于一致拟局部代数当且仅当该序列为渐近膨胀图，并表明此类代数当且仅当底空间具有Property A时为核代数。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the uniform Roe algebra and the uniform quasi-local algebra associated to a metric space of bounded geometry. In the process, we introduce a weakening of the notion of expanders, called asymptotic expanders. We show that being a sequence of asymptotic expanders is a coarse property under certain connectedness condition, and it implies non-uniformly local amenability. Moreover, we also analyse some $C^*$-algebraic properties of uniform quasi-local algebras. In particular, we show that a uniform quasi-local algebra is nuclear if and only if the underlying metric space has Property A.

研究动机与目标

• 理解有界几何度量空间上一致Roe代数与一致拟局部代数之间的结构性差异。
• 识别 $ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $ 等式成立的障碍，特别是通过平均投影 $ P_X $。
• 引入并研究渐近膨胀图这一新类，作为膨胀图的推广，捕捉粗几何刚性而不需完全膨胀性质。
• 分析一致拟局部代数的 $ C^* $-代数性质，尤其是核性与Cartan子代数结构。
• 研究粗几何、拟局部性与Hilbert空间嵌入之间的相互作用。

提出的方法

• 通过统一等周条件定义渐近膨胀图：对任意 $ \alpha > 0 $，存在 $ c \in (0,1) $，$ R > 0 $，使得对所有满足 $ \alpha|X_n| \leq |A| \leq |X_n|/2 $ 的 $ A \subseteq X_n $，有 $ |\partial_R A| > c|A| $。
• 证明在粗不相交并集 $ X = \bigsqcup X_n $ 上，平均投影 $ P_X $ 属于拟局部代数当且仅当 $ \{X_n\} $ 是渐近膨胀图序列。
• 利用 $ \ell^\infty(X) $ 在 $ \mathfrak{B}(\ell^2(X)) $ 中的正规化子刻画 $ C^{*}_{uq}(X) $ 中的元素，表明其与 $ C^{*}_{u}(X) $ 中的正规化子一致。
• 建立 $ C^{*}_{uq}(X) $ 为核代数当且仅当 $ X $ 具有Property A，利用渐近膨胀图与拟局部性的核性刻画。
• 分析 $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 的Cartan对结构，通过正规化子生成证明其为Cartan包含。
• 应用Finn-Sell等人的结果，表明若 $ X $ 可粗嵌入Hilbert空间，则 $ P_X \notin C^{*}_{u}(X) $，因此若 $ X $ 是渐近膨胀图的粗并集且 $ P_X \in C^{*}_{uq}(X) $，则 $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在粗不相交并集 $ X = \bigsqcup X_n $ 上，平均投影 $ P_X $ 何时属于一致拟局部代数 $ C^{*}_{uq}(X) $？
• RQ2 渐近膨胀图序列能否粗嵌入Hilbert空间，这对包含关系 $ C^{*}_{u}(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 有何含义？
• RQ3 一致拟局部代数 $ C^{*}_{uq}(X) $ 为核代数当且仅当底空间 $ X $ 具有Property A 吗？
• RQ4 $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 的Cartan对结构是否成立，其对 $ C^{*}_{uq}(X) $ 的代数生成有何含义？
• RQ5 若空间 $ X $ 满足 $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $，其能否粗嵌入Hilbert空间，这对粗Baum-Connes猜想有何影响？

主要发现

• 在粗不相交并集 $ X = \bigsqcup X_n $ 上，平均投影 $ P_X $ 属于拟局部代数当且仅当 $ \{X_n\} $ 是渐近膨胀图序列。
• 渐近膨胀图严格推广了膨胀图，通过构造一个满足渐近条件但不满足标准膨胀条件的序列得以证明。
• 当图连通且有有界度时，渐近膨胀图序列是粗等价下的不变量。
• 渐近膨胀图序列与一致局部可约性不相容，意味着其对可约性存在粗几何障碍。
• 一致拟局部代数 $ C^{*}_{uq}(X) $ 为核代数当且仅当底度量空间 $ X $ 具有Property A。
• 若 $ X $ 是渐近膨胀图的粗不相交并集且 $ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $，则 $ X $ 不能粗嵌入任何Hilbert空间，因为 $ P_X \in C^{*}_{u}(X) $ 将与这类Roe代数中不存在非紧致鬼投影的性质矛盾。