[论文解读] Quasi-local energy with respect to de Sitter/anti-de Sitter reference

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过在这些弯曲参考背景上定义准局域守恒量，将Wang-Yau准局域能量框架扩展至德西特（dS）和反德西特（AdS）时空。通过将物理时空中的等距嵌入最优地映射到dS/AdS中，并移植 Killing 量场，作者推导出一个广义的能量表达式，并证明在具有宇宙学常数的爱因斯坦方程下，总守恒量随时间演化遵循类似简谐振子的系统，且静质量保持不变。

ABSTRACT

This article considers the quasi-local conserved quantities with respect to a reference spacetime with a cosmological constant. We follow the approach developed by the authors in [25,26,7] and define the quasi-local energy as differences of surface Hamiltonians. The ground state for the gravitational energy is taken to be a reference configuration in the de Sitter (dS) or Anti-de Sitter (AdS) spacetime. This defines the quasi-local energy with respect to the reference spacetime and generalizes our previous definition with respect to the Minkowski spacetime. Through an optimal isometric embedding into the reference spacetime, the Killing fields of the reference spacetime are transplanted back to the surface in the physical spacetime to complete the definitions of quasi-local conserved quantities. We also compute how the corresponding total conserved quantities evolve under the Einstein equation with a cosmological constant.

研究动机与目标

• 将Wang-Yau准局域能量定义从闵可夫斯基时空推广至具有非零宇宙学常数的德西特（dS）和反德西特（AdS）时空。
• 基于dS/AdS参考构型，利用表面哈密顿量定义准局域守恒量（能量、动量、质心、角动量）。
• 基于最优等距嵌入至dS/AdS时空的几何框架，定义并计算这些量。
• 分析在具有宇宙学常数的真空爱因斯坦方程下，总守恒量的时间演化，表明其呈现类似简谐振子的系统行为。

提出的方法

• 将准局域能量定义为物理时空与dS/AdS参考时空之间表面哈密顿量的差值。
• 利用时空中的类空二维曲面到dS/AdS时空的最优等距嵌入，将参考时空中的Killing向量场移植到物理时空。
• 利用嵌入曲面的诱导几何以及由嵌入导出的时间函数τ，构造准局域能量泛函。
• 将最优等距嵌入方程导出为τ的四阶非线性椭圆型偏微分方程，以确保能量泛函的临界性。
• 在渐近AdS设定下应用哈密顿-雅可比分析与渐近展开，计算空间无穷远处的守恒量。
• 利用具有 lapse N=√(r²+1) 且位移向量为零的真空爱因斯坦演化方程，推导总守恒量的时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Wang-Yau准局域能量推广至具有非零宇宙学常数的时空（如dS和AdS）？
• RQ2 在dS/AdS时空中定义准局域守恒量的合适几何框架是什么？参考时空中的Killing场如何发挥作用？
• RQ3 在具有宇宙学常数的真空爱因斯坦方程下，总守恒量（能量、动量、质心、角动量）如何随时间演化？
• RQ4 在渐近AdS初值集中，通过总守恒量定义的静质量的时间演化行为如何？
• RQ5 在具有宇宙学常数的爱因斯坦方程下，静质量是否在时间演化中保持不变？

主要发现

• 总能量E(t)和角动量J^i(t)随时间保持不变，而动量P^i(t)和质心C^i(t)则呈现简谐振子行为。
• 时间导数满足如下系统：∂_t E(t) = 0，∂_t P^i(t) = -C^i(t)，∂_t C^i(t) = P^i(t)，∂_t J^i(t) = 0。
• 通过总守恒量定义的静质量m(t)在时间演化下保持不变，即∂_t m(t) = 0。
• 守恒量演化方程由具有 lapse N = √(r² + 1) 且位移向量为零的真空爱因斯坦方程导出。
• P^i与C^i的演化方程类似于简谐振子，表明在时间演化下质心与动量呈现振荡行为。
• 该框架成功将基于闵可夫斯基时空的准局域能量推广至dS/AdS参考背景，保持了非负性与刚性等关键物理性质。