[论文解读] Quasi-local mass at the null infinity of the Vaidya spacetime

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文评估了在Vaidya时空的未来 null 无穷远处单位球面上的Wang-Yau准局部质量，显式求解了最优嵌入方程，并表明质量以 $O(d^{-2})$ 的速率衰减。若质量方面函数单调递减，则该准局部质量为正，从而实现了对 null 无穷远处质量损失的局部表征。

ABSTRACT

There are two important statements regarding the Trautman-Bondi mass [1,8,5] at null infinity: one is the positivity [7,6], and the other is the Bondi mass loss formula [1], which are both global in nature. The positivity of the quasi-local mass can potentially lead to a local description at null infinity. This is confirmed for the Vaidya spacetime in this note. We study the Wang-Yau quasi-local mass on surfaces of fixed size at the null infinity of the Vaidya spacetime. The optimal embedding equation is solved explicitly and the quasi-local mass is evaluated in terms of the mass aspect function of the Vaidya spacetime.

研究动机与目标

• 通过准局部质量提供对 null 无穷远处质量的局部描述，扩展如Bondi质量损失公式等全局结果。
• 评估Vaidya时空中未来 null 无穷远处单位球面上的Wang-Yau准局部质量，该时空是非微扰的辐射黑洞模型。
• 建立准局部质量符号与质量方面函数单调性之间的直接联系。
• 表明尽管Vaidya时空并非小扰动，其准局部质量的衰减速率仍与线性化Schwarzschild扰动中的 $O(d^{-2})$ 速率一致。

提出的方法

• 在Vaidya时空的未来 null 无穷远处，构造以某条类光测地线上点为中心、半径为1的单位球面 $\Sigma_d$。
• 通过坐标变换至 $ (t, s, u^1, u^2) $，其中 $ t = d $，$ s = 1 $，$ u^a $ 为单位球面上的角坐标。
• 在质量方面函数 $ M(u) $ 的表达下，显式求解最优嵌入方程，使用一阶近似 $ X $ 和 $ T_0 = (1,0,0,0) $。
• 利用公式 $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $ 评估准局部能量，其中 $ Z = \tilde{d}_i \tilde{X}^i $。
• 应用文献[4]中的定理4.5，定义在无穷远处环路上的不变量，计算从Schwarzschild到Vaidya的一族时空变化中第二基本形式与面积形式的变分。
• 计算不变量 $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $（当 $ Z \geq c $ 时），并将其与质量方面函数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wang-Yau准局部质量能否在Vaidya时空中对 null 无穷远处的质量提供局部表征？
• RQ2 Vaidya时空中的准局部质量是否以与线性化Schwarzschild扰动中相同的 $ O(d^{-2}) $ 速率衰减？
• RQ3 在质量方面函数满足何种条件下，准局部质量为正？
• RQ4 准局部质量如何与质量损失及无穷远处环路的几何结构相关联？
• RQ5 能否在Vaidya时空中用质量方面函数表达无穷远处环路上定义的不变量？

主要发现

• 在Vaidya时空的未来 null 无穷远处单位球面上，准局部质量以 $ O(d^{-2}) $ 的速率衰减，与线性化Schwarzschild扰动中观察到的衰减速率一致。
• 准局部质量被显式计算为 $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $，其主导项依赖于质量方面函数的导数。
• 若质量方面函数 $ M(u) $ 单调递减，则准局部质量为正，从而提供了正能量的局部判据。
• 在无穷远处环路上计算出的不变量为 $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $，其依赖于Vaidya质量方面函数在 $ u = -c $ 处的值与Schwarzschild质量 $ m $ 的差值。
• 该不变量与边界为 $ \gamma_c $ 的曲面 $ \Sigma $ 的选择无关，证实了其几何与物理意义。
• 结果表明，准局部质量不仅能捕捉全局渐近量（如Bondi质量）之外的局部物理信息，还能表征质量损失与单调性等关键特征。