[论文解读] Quasi-local variables, non-linear perturbations and back-reaction in spherically symmetric spacetimes

Roberto A. Sussman|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文提出了一种球对称时空的准局部形式化方法，将Lemaître-Tolman-Bondi（LTB）尘埃解推广至包含非零压强和各向异性应力的情形。通过基于Misner-Sharp准局部质量-能量定义的准局部变量，作者将流体动力学重新表述为FLRW宇宙学的非线性、规范不变微扰，从而实现了对非均匀情形下反冲效应和能量梯度的协变分析。

ABSTRACT

We introduce a quasi-local integral functional and scalar quasi-local variables to examine a wide class of spherically symmetric inhomogeneous spacetimes that generalize the Lemaitre-Tolman-Bondi (LTB) dust solutions ("LTB" spacetimes). By using these variables, we can transform the fluid flow evolution equations into evolution equations for non-linear, covariant, gauge--invariant perturbations of Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) cosmologies. In the linear limit, we obtain spherical perturbations in the synchronous gauge under the long wavelength approximation. The formalism has a significant potential for cosmological applications, as it allows one to examine a wide variety of sources with different "equations of state", generalizing known FLRW solutions to idealized but non-trivial and non-linear inhomogeneous conditions. The quasi-local functional can be reformulated as a weighed proper volume average distribution, with the weight factor given by a scalar invariant related to the quasi-local mass-energy function. The back-reaction terms, emerging in Buchert's proper averaging formalism, can be expressed as differences between fluctuations of averaged and quasi-local energy densities. By comparing this average with the weighed quasi-local one, we can define a binding energy functional related to spatial gradients of the averaged and quasi-local variables that appear in the back-reaction terms.

研究动机与目标

• 开发一种协变、规范无关的形式化方法，用于分析非均匀球对称时空中的非线性微扰，超越尘埃近似。
• 将LTB时空框架推广至包含非零压强和各向异性应力，突破理想尘埃解的限制。
• 利用准局部能量密度涨落和空间梯度，表达Buchert平均形式化中的反冲项。
• 通过与准局部质量-能量相关的标量不变量定义加权本征体积平均，实现与空间平均的比较。
• 从平均能量密度与准局部能量密度之差出发，建立结合能泛函，捕捉非均匀性效应。

提出的方法

• 基于Misner-Sharp准局部质量-能量定义一个准局部积分泛函，其作为加权本征体积平均，以标量不变量为权重。
• 引入由积分泛函导出的准局部标量变量，实现对球对称时空中流体动力学的协变描述。
• 将所有局部协变标量表示为相对于其准局部对应量的微扰，将1+3流体流方程转化为这些微扰的演化方程。
• 将系统简化为一组含径向梯度的非线性自治PDE，有效将径向依赖视为ODE框架中的参数。
• 将Buchert的反冲项重新表述为平均能量密度与准局部能量密度涨落之间的差异。
• 从平均变量与准局部变量的空间梯度出发，定义结合能泛函，量化非均匀性对有效动力学的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非零压强的球对称时空中，系统地描述FLRW宇宙学的非线性、规范不变微扰？
• RQ2 基于Misner-Sharp质量-能量的准局部变量在表征超越尘埃极限的非均匀流体流动中起什么作用？
• RQ3 Buchert平均形式化中的反冲项如何从空间平均与准局部能量密度涨落之间的差异中产生？
• RQ4 平均变量与准局部变量的空间梯度以何种方式共同构成非均匀宇宙学中的有效结合能泛函？
• RQ5 鉴于该形式化依赖于球对称性，其能否在最小修改下推广至非球对称模型？

主要发现

• 该准局部形式化成功将LTB时空推广至包含非零压强和各向异性应力，从而允许更广泛的非均匀解。
• 流体流演化方程被重述为相对于准局部变量的非线性、协变、规范不变微扰方程，简化了非均匀性的分析。
• 在线性极限下，该形式化在长波长近似下重现了同步规范中的球对称微扰。
• Buchert形式化中的反冲项被表达为平均能量密度与准局部能量密度涨落之间的差异，提供了几何解释。
• 从平均变量与准局部变量的空间梯度出发，定义了结合能泛函，量化了非均匀性对有效动力学的影响。
• 只要施加适当的正则性条件（如 $ R' > 0 $），该形式化即使在存在曲率奇点和壳层交叉奇点的情况下依然有效。