[论文解读] Quasi-Locality Bounds for Quantum Lattice Systems. Part II. Perturbations of Frustration-Free Spin Models with Gapped Ground States

Bruno Nachtergaele, Robert Sims+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Quantum many-body systems参考文献 124被引用 25

一句话总结

本文建立了量子格点系统的准局域性界，证明了在相互作用衰减快于拉伸指数的扰动下，无 frustration 的自旋模型中能隙的稳定性。通过采用 Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) 策略，本文在先前结果的基础上进行了扩展，通过引入可区分半径（indistinguishability radius）的改进局域拓扑量子序（LTQO）条件，使得具有通用边界条件和离散对称性破缺的模型也能进行稳定性分析。

ABSTRACT

We study the stability with respect to a broad class of perturbations of gapped ground state phases of quantum spin systems defined by frustration-free Hamiltonians. The core result of this work is a proof using the Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) strategy that under a condition of Local Topological Quantum Order, the bulk gap is stable under perturbations that decay at long distances faster than a stretched exponential. Compared to previous work we expand the class of frustration-free quantum spin models that can be handled to include models with more general boundary conditions, and models with discrete symmetry breaking. Detailed estimates allow us to formulate sufficient conditions for the validity of positive lower bounds for the gap that are uniform in the system size and that are explicit to some degree. We provide a survey of the BHM strategy following the approach of Michalakis and Zwolak, with alterations introduced to accommodate more general than just periodic boundary conditions and more general lattices. We express the fundamental condition known as LTQO by means of the notion of indistinguishability radius, which we introduce. Using the uniform finite-volume results we then proceed to study the thermodynamic limit. We first study the case of a unique limiting ground state and then also consider models with spontaneous breaking of a discrete symmetry. In the latter case, LTQO cannot hold for all local observables. However, for perturbations that preserve the symmetry, we show stability of the gap and the structure of the broken symmetry phases. We prove that the GNS Hamiltonian associated with each pure state has a non-zero spectral gap above the ground state.

研究动机与目标

• . 将无 frustration 量子自旋系统中谱能隙的稳定性结果，从周期性边界条件推广至更一般的情形。
• . 建立在存在离散对称性破缺的模型中谱能隙的稳定性，其中标准 LTQO 条件失效。
• . 将 BHM 策略推广至处理非交换、非周期性及对称性破缺的系统。
• . 引入并形式化可区分半径，作为量化有限系统与无限系统中局域可观测量差异的工具。
• . 在热力学极限下，证明谱能隙存在与系统尺寸无关的统一下界。

提出的方法

• . 应用 Bravyi-Hastings-Michalakis (BHM) 策略，分析在扰动下的谱能隙稳定性。
• . 引入可区分半径作为局域拓扑量子序（LTQO）的新度量，量化局域可观测量与其无限体积极限之间的可区分距离。
• . 使用谱流和准局域性估计，控制扰动对基态空间的影响。
• . 采用锚定相互作用和形式有界扰动理论，处理相互作用的长程衰减。
• . 建立统一的有限体积界，并通过一致的系统序列取热力学极限。
• . 证明矩阵乘积态（MPS）映射的单射性，并利用矩阵乘积态（MPS）技术估计可区分半径。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 是否可以证明：在衰减快于拉伸指数的扰动下，具有能隙的无 frustration 量子自旋系统的谱能隙保持稳定？
• RQ2 . 如何重新表述 LTQO 条件，使其适用于具有通用边界条件且不具周期性的系统？
• RQ3 . 可区分半径在量化拓扑序在扰动下的稳定性方面起什么作用？
• RQ4 . 在自发离散对称性破缺的情况下，能隙稳定性如何表现？
• RQ5 . 是否可以在热力学极限下建立与系统尺寸无关的谱能隙下界？

主要发现

• . 当相互作用衰减快于拉伸指数时，对于所有足够小的扰动 s，谱能隙保持统一下界。
• . 可区分半径的下界由距边界距离的函数决定，确保了有限系统中能隙的稳定性。
• . 对于具有唯一基态的系统，与无限体积态相关的 GNS 哈密顿量在基态之上具有非零谱能隙。
• . 在存在离散对称性破缺的模型中，能隙在对称性保持的扰动下依然稳定，且每个纯态对应的 GNS 哈密顿量均具有非零谱能隙。
• . 本文证明，通过可区分半径形式化的 LTQO 条件，即使在无周期性边界条件的情况下，也足以保证谱能隙的稳定性。
• . 在矩阵乘积态（MPS）系统中，推导出可区分半径的显式定量界，表明其随与关注区域距离的增加呈指数衰减。