[论文解读] Quasi-Metrizability of Bornological Biuniverses in ZF

Artur Piękosz, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）中为可生成的双宇宙建立了准度量化定理，将胡氏关于可生成宇宙的度量化定理推广至准度量设定。证明了可生成的双宇宙是准度量化的，当且仅当它是第二可数且(τ₁,τ₂)-正则的，并表明若干度量化陈述在ZF中相对独立，揭示了一般拓扑学中的基础依赖性。

ABSTRACT

Hu's metrization theorem for bornological universes is shown to hold in ZF and it is adapted to a quasi-metrization theorem for bornologies in bitopological spaces. The problem of uniform quasi-metrization of quasi-metric bornological universes is investigated. Several consequences for natural bornologies in generalized topological spaces in the sense of Delfs and Knebusch are deduced. Some statements concerning (uniform)-(quasi)-metrization of bornologies are shown to be relatively independent of ZF.

研究动机与目标

• 在策梅洛-弗兰克尔集合论中，将胡氏关于可生成宇宙的度量化定理推广至准度量设定。
• 研究可生成双宇宙在何种条件下可实现为准度量空间。
• 分析准度量可生成宇宙的统一准度量化性质。
• 推导出德尔夫斯与克尼布施意义上的广义拓扑空间中自然可生成性的后果。
• 确定关键度量化陈述在ZF中的逻辑独立性，识别出哪些结果需要额外公理（如可数选择公理）。

提出的方法

• 通过引入(τ₁,τ₂)-正则有界性的概念，将胡氏原始度量化定理适应于双拓扑空间。
• 将可生成双宇宙定义为三元组((X,τ₁,τ₂),ℬ)，其中ℬ为可生成集，τ₁与τ₂分别是由准度量及其共轭诱导的拓扑。
• 使用d-有界集ℬ_d(X)来以准度量球的形式刻画可生成集。
• 证明在可生成双宇宙设定下，准度量化等价于第二可数性与(τ₁,τ₂)-正则性。
• 分析选择公理（AC）与可数选择公理（CC）在证明中的作用，表明某些陈述在ZF中相对独立。
• 运用范畴论工具，包括部分拓扑化函子pt，证明广义可生成宇宙的范畴是拓扑构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设选择公理或可数选择公理的ZF中，可生成双宇宙在何种条件下是准度量化的？
• RQ2 可生成双宇宙的准度量化如何与胡氏及其他人的经典度量化定理相关联？
• RQ3 关于可生成集的（统一）-（准）度量化，哪些陈述在ZF中是逻辑独立的？
• RQ4 在德尔夫斯与克尼布施意义上的广义拓扑空间中，自然可生成集是否可在ZF下实现为准度量化？
• RQ5 可数选择公理在证明可生成双宇宙的准度量化定理中起什么作用？

主要发现

• 胡氏关于可生成宇宙的度量化定理在ZF中成立，其证明严重依赖于可数选择公理（CC）。
• 可生成双宇宙((X,τ₁,τ₂),ℬ)是准度量化的，当且仅当它是第二可数且(τ₁,τ₂)-正则的。
• 以有界双连续映射为态射的可生成双宇宙范畴ℬ_iUBor是拓扑构造。
• 以有界严格连续映射为态射的部分拓扑化广义可生成宇宙范畴Ge_ptUBor是拓扑构造。
• 若干关于可生成集的（统一）-（准）度量化陈述被证明在ZF中相对独立，表明其基础依赖性超越ZF。
• 在ZF中证明准度量化需要采用[ PW]中建议的ZF的修改版本，以处理广义拓扑空间中正则性与有界性的处理。