[论文解读] Quasi-modular forms and trace functions associated to free boson and lattice vertex operator algebras

Chongying Dong, Geoffrey Mason+1 more|ArXiv.org|Apr 20, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本论文证明了自由玻色子和格点顶点算子代数中的迹函数具有模形式或准模形式性质：对于 $d$ 个自由玻色子，迹函数的形式为 $f(q)/\eta(q)^d$，其中 $f(q)$ 是准模形式；对于格点 VOAs，迹函数是模形式。关键结果将球谐多项式与原初场联系起来，并表明所有水平为 1 的尖点形式均可在 $V_{E_8}$ 中作为迹函数实现，从而推广了 VOAs 中的模形式性质。

ABSTRACT

We study graded traces of vectors in free bosonic vertex operator algebras and lattice vertex operator algebras. We show in particular that trace functions in these two theories always have the shape f(q)/η(q)^d where f(q) is quasi-modular in the case of d free bosons, and modular (i.e., a sum of holomorphic modular forms of various weights) in the case of theories based on a lattice L of rank d. We also show how spherical harmonic polynomials with respect to L are related to primary fields in lattice theories.

研究动机与目标

• 理解顶点算子代数中 1-点关联函数（迹函数）的模形式或准模形式性质。
• 确定这些迹函数在何时为模形式或偏离模形式，特别是在自由玻色子和格点 VOAs 中。
• 在格点 VOAs 中，建立球谐多项式与原初场之间的精确对应关系。
• 证明在特定环中的每个模形式（或准模形式）均可在这些 VOAs 中实现为迹函数。

提出的方法

• 使用 Zhu 的迹函数理论 $Z(v,q) = \operatorname{tr}_V o(v) q^{L(0)-c/24}$ 来分析 VOAs 中的 1-点关联函数。
• 应用准模形式理论 $Q(N,\epsilon) = M(N,\epsilon)[E_2]$ 来刻画自由玻色子 VOAs 中的迹函数。
• 利用 Heisenberg VOAs $M(1)$ 和格点 VOAs $V_L$ 的结构，将迹函数分解为 $f(q)/\eta(q)^d$ 的形式。
• 通过 $h_i(0)$ 的作用和 $L(2)$-消去条件，将 $V_L$ 中的原初场与球谐多项式联系起来。
• 通过迹映射的一个截面，显式构造 $V$ 的子空间与准模形式环 $Q$ 之间的同构。
• 利用 $h_0(0)^k$ 在 $V_L$ 上作用为 $P(\alpha)$ 的事实来计算迹，并证明只有零模项对迹有贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，顶点算子代数中的迹函数是模形式或准模形式？
• RQ2 球谐多项式如何与格点 VOAs 中的原初场相关联？
• RQ3 是否每个模形式或准模形式都可作为自由玻色子或格点 VOA 中的迹函数实现？
• RQ4 在 $M(1)$ 和 $V_L$ 中，迹映射 $v \mapsto Z(v,q)$ 的精确结构是什么？
• RQ5 所有水平为 1 的尖点形式是否都可作为 $V_{E_8}$ 中的迹函数出现？

主要发现

• 对于 $d$ 个自由玻色子的 VOA，每个迹函数的形式为 $f(q)/\eta(q)^d$，其中 $f(q)$ 属于准模形式环 $Q$。
• 由 $t(v) = (\operatorname{ch}_q V)^{-1} Z(v,q)$ 定义的迹映射 $t: V \to Q$ 是线性满射，且可通过子空间 $W \subset V$ 显式构造其截面。
• 对于秩为 $d$ 的格点 VOAs $V_L$，每个迹函数的形式为 $f(q)/\eta(q)^d$，其中 $f(q)$ 是 $M(N,\epsilon)$ 中的模形式。
• 次数为 $k$ 的球谐多项式对应于 $V_L$ 中的原初场，其迹函数为 $\theta_L(P,\tau)/\eta(\tau)^d$，其中 $\theta_L(P,\tau)$ 是由 $P$ 扭曲的 theta 函数。
• 任何水平为 1 的尖点形式都可作为 $V_{E_8}$ 中的迹函数实现，具体形式为 $f(q)/\eta(q)^8$，其中 $f(q)$ 对应某个原初场 $v$，该结论通过 Waldspurger 的结果和定理 3 得到证明。
• 在 $M(1)$ 上，任何非零模项单项式 $h_0(n_1)\cdots h_0(n_r)$（满足 $\sum n_i = 0$ 且 $r \geq 2$）的迹为零，从而确保只有零模项对迹有贡献。