[论文解读] Quasi-morphisms on cotangent bundles and symplectic homogenization

Alexandra Monzner, Nicolas Vichery+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在余切丛 T*N 的哈密顿群上构造了一类齐次准同态家族，其参数由基流形 N 的第一实上同调给出。当 N = T^n 时，这些准同态与维特博的辛同伦化一致，为辛刚性、阿布里-梅瑟理论以及哈密顿群的代数结构提供了新工具。

ABSTRACT

For a class of closed manifolds N, we construct a family of functions on the Hamiltonian group G of the cotangent bundle T*N. These restrict to homogeneous quasi-morphisms on the subgroup generated by Hamiltonians with support in a given cotangent ball bundle. The family is parametrized by the first real cohomology of N, and in the case N=T^n, it coincides with Viterbo's symplectic homogenization operator. These functions have applications to the algebraic and geometric structure of G and its subgroups, to symplectic rigidity, and to Aubry-Mather and weak KAM theory.

研究动机与目标

• 通过由上同调参数化的准同态族，将维特博的辛同伦化推广至一般紧致流形 N。
• 研究 T*N 的哈密顿群 G 及其子群的代数与几何结构。
• 通过这些新准同态探索其在辛刚性和弱 KAM 理论中的应用。
• 建立准同态与余切丛中辛不变量之间的联系。
• 利用上同调数据将 T^n 上已知结果推广至任意紧致流形。

提出的方法

• 利用在余切球丛中具有紧支集的哈密顿流，在 T*N 的哈密顿群上构造函数。
• 通过 N 的第一实上同调 H^1(N;ℝ) 参数化这些函数族。
• 证明这些函数在由固定余切球内哈密顿量生成的子群上限制为齐次准同态。
• 运用辛几何技巧及哈密顿动力学的性质，确立准同态结构。
• 将构造应用于恢复当 N = T^n 时维特博的辛同伦化。
• 依赖哈密顿群的结构与余切丛的几何性质，推导出不变性与齐次性特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将维特博的辛同伦化从 T^n 推广至任意紧致流形 N？
• RQ2 H^1(N;ℝ) 在构造 T*N 的哈密顿群上准同态中起什么作用？
• RQ3 这些准同态如何反映哈密顿群及其子群的代数与几何结构？
• RQ4 这些构造在何种方式下增强了我们对余切丛中辛刚性的理解？
• RQ5 在哈密顿动力学背景下，这些准同态如何与阿布里-梅瑟理论及弱 KAM 理论相关联？

主要发现

• 本文构造了一类以 H^1(N;ℝ) 为参数的、定义在 T*N 的哈密顿群上的齐次准同态家族。
• 当 N = T^n 时，所构造的家族与维特博的辛同伦化算子一致。
• 这些准同态通过在固定余切球丛内支集的哈密顿量定义，确保了局部控制与结构清晰。
• 该构造揭示了哈密顿群中的新代数不变量，丰富了其几何与代数结构。
• 结果为研究余切丛中的辛刚性与哈密顿动力学提供了新工具。
• 该框架将辛不变量与上同调数据联系起来，将已知的环面结果推广至一般紧致流形。