[论文解读] Quasi-morphisms on Free Groups

Pascal Rolli|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文通过使用在约化字串分解中指数的有界序列，构建了自由群上的一类新型准同态，提供了自由群在两个或更多生成元时，其第二有界上同调为无限维的更简单证明。该构造进一步推广至无小子群的群，包括具有双不变度量的紧致李群，并通过 ε-小子群论证证明了其非平凡性。

ABSTRACT

Let F be the free group over a set of two or more generators. R. Brooks constructed an infinite family of quasi-morphisms on F such that an infinite subfamily gives rise to independent classes in the second bounded cohomology of F, which proves that this space is infinite dimensional. We give a simpler proof of this fact using a different type of quasi-morphisms. After computing the Gromov norm of the corresponding bounded classes, we generalize our example to obtain quasi-morphisms on free products, as well as quasi-morphisms into groups without small subgroups, also known as epsilon-representations.

研究动机与目标

• 提供一个更简单的证明，说明两个或更多生成元的自由群的第二有界上同调是无限维的。
• 通过使用在约化字串分解中指数的有界实序列，构造自由群上的一类新型准同态。
• 将该构造推广至无小子群的群（如具有双不变度量的紧致李群）中的准同态。
• 通过证明当序列范数足够小时，这些准同态无法被一致逼近为同态，从而确立其非平凡性。

提出的方法

• 通过将有界序列 $ \sigma \in \ell^\infty $ 的值分配给生成元的幂，并在每个群元素的唯一最短分解上进行可加延拓，定义映射 $ g_{\sigma} : F \to \mathbb{R} $。
• 通过利用分解中的消去作用以及 $ \sigma $ 在 $ \mathbb{Z} $ 上的奇延拓，控制缺陷 $ \sup |g_{\sigma}(x) + g_{\sigma}(y) - g_{\sigma}(xy)| $，证明 $ g_{\sigma} $ 是准同态。
• 通过计算相关有界上同调类的 Gromov 范数，分析上同调空间的大小。
• 将构造推广至映射 $ g_{\sigma} : F \to G $，其中 $ G $ 是无小子群的群，并配备双不变度量，使用相同的分解可加延拓。
• 通过证明若 $ \|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2 $，则 $ g_{\sigma} $ 无法被任何同态 $ \varphi : F \to G $ 一致逼近，从而证明其非平凡性，因为否则其像将生成一个 $ \varepsilon $-小子群。
• 利用度量的双不变性控制乘积中的距离，确保缺陷保持有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否给出一个更简单的自由群上非平凡准同态的构造，以证明 $ \mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R}) $ 的无限维性？
• RQ2 在映射到无小子群的群时，哪些条件能确保准同态的非平凡性？
• RQ3 有界上同调类的 Gromov 范数与序列 $ \sigma $ 有何关系？
• RQ4 自由群上的准同态构造能否推广至 $ \mathbb{R} $ 以外的其他目标群？
• RQ5 双不变度量在广义设定中确保缺陷有界性的角色是什么？

主要发现

• 在满足 $ |S| \geq 2 $ 的自由群 $ F $ 上构造的准同态 $ g_{\sigma} $ 具有有界缺陷，证明其为有效的准同态。
• 有界序列空间 $ \sigma \in \ell^\infty $ 生成了无限维的准同态族，且其在 $ \mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R}) $ 中对应的类线性无关。
• 与 $ g_{\sigma} $ 关联的有界上同调类的 Gromov 范数为有限且可计算，支持该类的非平凡性。
• 该构造可推广至值域为无小子群且配备双不变度量的群 $ G $ 的映射 $ g_{\sigma} : F \to G $。
• 若 $ \|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2 $，则 $ g_{\sigma} $ 无法被任何同态 $ \varphi : F \to G $ 一致逼近，从而证明其准同态的非平凡性。
• 在 $ G = \mathbb{R} $ 的情况下，结果恢复了 Brooks 型准同态的非平凡性，与先前工作保持一致。