[论文解读] Quasi-optimal nonconforming methods for symmetric elliptic problems. III -- DG and other interior penalty methods

Andreas Veeser, Pietro Zanotti|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文通过在右端项离散化中引入计算上可行的 $H^1_0$-平滑算子，提出了一类针对对称椭圆问题的拟最优非协调有限元方法。新方法在形状规则网格下保持拟最优常数一致有界，并随罚参数增大趋近于1，从而在稳定性与一致性方面优于标准内部罚方法。

ABSTRACT

We devise new variants of the following nonconforming finite element methods: DG methods of fixed arbitrary order for the Poisson problem, the Crouzeix-Raviart interior penalty method for linear elasticity, and the quadratic $C^0$ interior penalty method for the biharmonic problem. Each variant differs from the original method only in the discretization of the right-hand side. Before applying the load functional, a linear operator transforms nonconforming discrete test functions into conforming functions such that stability and consistency are improved. The new variants are thus quasi-optimal with respect to an extension of the energy norm. Furthermore, their quasi-optimality constants are uniformly bounded for shape regular meshes and tend to $1$ as the penalty parameter increases.

研究动机与目标

• 为解决标准对称内部罚（SIP）方法及其他非协调方法在对称椭圆问题中缺乏完全稳定性和拟最优性的问题。
• 通过在右端项离散化中引入平滑算子，改进间断伽辽金法与 $C^0$ 内部罚方法的一致性与稳定性。
• 确保所提出方法在非协调离散空间下，对扩展能量范数仍保持拟最优性。
• 构造一种计算上可行的 $H^1_0$-平滑算子，保持面平均值不变，从而提升一致性。
• 在形状规则网格上实现拟最优常数一致有界，且随着罚参数增大，常数趋近于1。

提出的方法

• 提出一种新颖的平滑算子 $E: S^{0}_1 \to H^1_0(\Omega)$，将不连续分片仿射函数映射为符合 $H^1_0$ 的函数，同时保持面平均值不变。
• 通过将 $\int_\Omega f\sigma$ 替换为 $\langle f, E\sigma \rangle$，修改离散变分格式，以提升一致性和稳定性。
• 采用 HCT 类型的平均算子与更高阶的泡函数构造平滑算子 $E$，确保其算子范数在网格形状正则性下有界。
• 为双调和问题定义新的双线性形式 $b_{\mathrm{BS}}$，通过二阶法向导数的跳跃项与罚项确保强严格性与对称性。
• 应用先前工作中提出的抽象拟最优性理论，建立在扩展能量范数 $|\cdot|_{1;\eta}$ 或 $|\cdot|_{2;\eta}$ 下的收敛性界。
• 证明拟最优常数有界于 $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$，且当 $\eta \to \infty$ 时趋近于1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过修改右端项离散化，使标准对称内部罚方法在对称椭圆问题中实现拟最优性？
• RQ2 如何构造一种平滑算子，以在不牺牲计算可行性的情况下提升非协调方法的一致性与稳定性？
• RQ3 拟最优常数对罚参数与网格形状正则性的依赖关系如何？
• RQ4 所提框架能否推广至高阶方法，如双调和问题的 $C^0$ 内部罚方法？
• RQ5 修改后的方法是否可在不引入误差估计中增补项的情况下实现最优收敛率？

主要发现

• 所提出的双调和问题方法 $M_{\mathrm{C0}}$ 在 $|\cdot|_{2;\eta}$ 范数下为拟最优，其常数有界于 $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$。
• 当罚参数 $\eta$ 增大时，拟最优常数趋近于1，表明条件数改善，收敛行为更优。
• 平滑算子 $E_{\mathrm{C0}}$ 计算上可行，且满足 $\left\{\!\!\left\{ \nabla E_{\mathrm{C0}}\sigma \right\}\!\!\right\} = 0$ 在内部面上，从而保持一致性。
• 该方法在不依赖增补项 $\mathrm{AG}(u-s)$ 的情况下实现最优收敛率，而该增补项在一般 $H^1_0$ 解中无界。
• 第一部分中提出的抽象理论在较弱的网格正则性与罚参数假设下成功应用于证明拟最优性。
• 通过构造更高阶的平滑算子，该框架可推广至高阶方法，如 $p \geq 3$ 的 $C^0$ 内部罚方法。