[论文解读] Quasi-Periodic Schrödinger Cocycles with Positive Lyapunov Exponent are not Open in the Smooth Topology

Yiqian Wang, Jiangong You|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文通过构造可被零 Lyapunov 指数的 cocycle 近似的一类拟周期 Schrödinger cocycle，证明了在 $1 \leq l \leq \infty$ 的 $\mathcal{C}^l$ 拓扑下，正 Lyapunov 指数的 quasi-periodic Schrödinger cocycle 集合不是开集。该结果与解析拓扑下此类集合为开且稠密的事实形成鲜明对比，揭示了在光滑扰动与解析扰动下正 Lyapunov 指数稳定性的根本差异。

ABSTRACT

One knows that the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is open and dense in the analytic topology. In this paper, we construct cocycles with positive Lyapunov exponent which can be approximated by ones with zero Lyapunov exponent in the space of ${\cal C}^ l$ ($1 \le l\le \infty$) smooth quasi-periodic cocycles. As a consequence, the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is not ${\cal C}^ l$ open.

研究动机与目标

• 研究光滑拟周期 Schrödinger cocycle 中正 Lyapunov 指数的拓扑稳定性。
• 解决关于正 Lyapunov 指数集合在 $\mathcal{C}^l$ 拓扑下是否开的开放问题，其中 $1 \leq l \leq \infty$。
• 构造显式例子，展示 $\mathcal{C}^l$ 拟周期 cocycle 在正 Lyapunov 指数下可被零 Lyapunov 指数的 cocycle 近似。
• 阐明解析拓扑与光滑拓扑在 Lyapunov 指数稳定性背景下的差异。

提出的方法

• 作者基于 $SL(2,\mathbb{R})$-cocycle 的结构，采用微扰方法构造了一族 $\mathcal{C}^l$ 拟周期 Schrödinger cocycle，其 Lyapunov 指数为正。
• 通过转移矩阵与角度参数 $\phi$ 和 $\theta$ 的递归构造，控制矩阵范数的增长及 Lyapunov 指数的行为。
• 证明依赖于利用 Avalanche 原理与次次调和性技术导出的界，对矩阵范数与角度参数的导数进行估计。
• 关键估计针对 $\|BA\|$ 关于参数 $\|A\|$、$\|B\|$、$\phi$ 与 $\theta$ 的第 $i$ 阶导数，表明其衰减受 $d_k^{-i}$ 与矩阵范数倒数控制。
• 利用 $\omega$ 为有界类型这一事实，确保返回时间的统一控制，并在递归步骤中限制迭代次数。
• 通过在区间 $I_k$ 上迭代，建立角度函数 $\phi_{k+1,1}$ 与 $\psi_{k+1,1}$ 的导数的统一有界性，最终导出引理 2.1 中的导数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $1 \leq l \leq \infty$ 的 $\mathcal{C}^l$ 拓扑下，$\mathcal{C}^l$ 拟周期 Schrödinger cocycle 中正 Lyapunov 指数的集合是否开？
• RQ2 在 $\mathcal{C}^l$ 拓扑下，是否可将具有正 Lyapunov 指数的 cocycle 近似为具有零 Lyapunov 指数的 cocycle？
• RQ3 对于拟周期 Schrödinger cocycle，解析拓扑与光滑拓扑下 Lyapunov 指数的行为有何不同？
• RQ4 频率 $\omega$ 的 Diophantine 条件或有界类型条件在构造此类近似序列中起什么作用？
• RQ5 即使在光滑设置下这些集合是稠密的，是否存在内在障碍导致正 Lyapunov 指数集合无法开？

主要发现

• 对于任意 $1 \leq l \leq \infty$，$\mathcal{C}^l$ 拟周期 Schrödinger cocycle 中正 Lyapunov 指数的集合都不是开集，这与解析情形相反。
• 构造了显式例子，表明具有正 Lyapunov 指数的 cocycle 可在 $\mathcal{C}^l$ 拓扑下被零 Lyapunov 指数的 cocycle 任意紧密逼近。
• 主要障碍源于在光滑范畴下，即使 Lyapunov 指数保持为正，角度函数 $\phi$ 与 $\psi$ 的导数估计也缺乏统一控制。
• 证明建立了不等式 $\left| \frac{d^i}{dx^i} (\phi_{A,r^{+}_{k+1}}(x) - \phi_{A,r^{+}_{k}}(x)) \right| \leq C(i) \cdot |\theta_k - \pi/2|^{-i} \cdot \|A^{r^{+}_{k}}\|^{-2}$，其在迭代中衰减缓慢。
• 该构造依赖于 $\omega$ 的有界类型条件，以确保迭代次数 $s(x)$ 有统一有界性，从而使得递归导数估计能够闭合。
• 结果表明，光滑拓扑下 Lyapunov 指数的连续性与开性远比解析情形下更为精细，后者中此类性质是稳定的。