[论文解读] Quasi-plurisubharmonic envelopes 2: Bounds on Monge-Amp\`ere volumes

Vincent Guedj, Chinh H. Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文在参考形式非闭的情况下，利用拟 plurisubharmonic 上包络，建立了紧 Hermitian 流形上退化复 Monge-Ampère 方程的 Monge-Ampère 体积的界。证明了 Monge-Ampère 质量上确界（v+(ωX) < ∞）在双全纯映射下不变，且等价于 nef 类中 Kähler 电流的存在性，从而解决了 Grauert-Riemenschneider 猜想的超越版本，并将 Demailly-Pàun 与 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 猜想推广至非 Kähler 设置。

ABSTRACT

In \cite{GL21a} we have developed a new approach to $L^{\infty}$-a priori estimates for degenerate complex Monge-Amp\`ere equations, when the reference form is closed. This simplifying assumption was used to ensure the constancy of the volumes of Monge-Amp\`ere measures. We study here the way these volumes stay away from zero and infinity when the reference form is no longer closed. We establish a transcendental version of the Grauert-Riemenschneider conjecture, partially answering conjectures of Demailly-P\u{a}un \cite{DP04} and Boucksom-Demailly-P\u{a}un-Peternell \cite{BDPP13}. Our approach relies on a fine use of quasi-plurisubharmonic envelopes. The results obtained here will be used in \cite{GL21b} for solving degenerate complex Monge-Amp\`ere equations on compact Hermitian varieties.

研究动机与目标

• 在参考形式非闭时，建立紧 Hermitian 流形上退化复 Monge-Ampère 方程的 Monge-Ampère 体积的统一有界性。
• 解决 Grauert-Riemenschneider 猜想的超越版本，将其推广至非 Kähler 流形。
• 证明 v+(ωX) 的有限性在双全纯变换下不变，且等价于 nef 类中 Kähler 电流的存在性。
• 将 Demailly-Pàun 与 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 猜想推广至非闭形式与非 Kähler 设置。

提出的方法

• 引入并研究拟 plurisubharmonic 上包络 Pω(h)，作为有界 ω-plurisubharmonic 函数中上界为 h 的上包络。
• 利用包络构造控制 Monge-Ampère 质量，并证明 (ω + ddcPω(h))n 集中于接触集 {Pω(h) = h}。
• 应用改进的比较原理及一个涉及 Hermitian 形式的新型不等式（引理 4.13），推导体积估计。
• 采用 ddc-扰动方法处理非闭形式的扰动，利用 Gauduchon 度量与归一化控制体积积分。
• 将问题约化至 ε → 0 的极限情形，利用 Stokes 定理与 v+(ωX) 的一致有界性控制误差项。
• 通过包络技巧与 Fujiki 类的刻画，建立 v+(ωX) < ∞ 与 v−(ωX) > 0 在双全纯变换下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参考形式 ωX 非闭时，Monge-Ampère 质量上确界 v+(ωX) 在何种条件下有限？
• RQ2 条件 v+(ωX) < ∞ 是否在底层面流形的双全纯变换下保持不变？
• RQ3 v+(ωX) 的有限性是否蕴含在满足 αn > 0 的 nef 类 α 中存在 Kähler 电流？
• RQ4 Demailly-Pàun 与 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 猜想能否推广至非闭形式与非 Kähler 流形？
• RQ5 Monge-Ampère 质量 v+(ωX) 与一个 nef (1,1)-形式的 bigness 之间的确切关系为何？

主要发现

• 条件 v+(ωX) < ∞ 与 Hermitian 度量 ωX 的选择无关，且在双全纯映射下不变。
• 条件 v−(ωX) > 0 同样在双全纯映射下不变，且等价于形式 ωX 的一致非坍缩性质。
• 对任意复维数 n ≤ 2 的紧复流形 X，或任意具有 pluriclosed 度量的三叉流形，均有 v+(ωX) < ∞。
• v+(ωX) 的有限性等价于在满足 αn > 0 的 nef 类 α 中存在 Kähler 电流，从而解决了 Grauert-Riemenschneider 猜想的超越版本。
• 条件 v+(ωX) < ∞ 蕴含 X 属于 Fujiki 类，反之，若 X 属于 Fujiki 类，则 v+(ωX) < ∞。
• Demailly-Pàun 与 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 猜想的推广成立：在条件 αn > nαn−1 · β 下，α − β 包含 Kähler 电流当且仅当 v+(ωX) < ∞。