[论文解读] Quasi-Poisson Manifolds

Anton Alekseev, Yvette Kosmann–Schwarzbach+1 more|ArXiv.org|Jun 22, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了拟泊松流形——即配备有满足特定舒坦 bracket 条件的不变双向量场的 G-流形，该条件涉及由李代数上的不变内积所生成的 Cartan 3-张量。本文建立了非退化哈密顿拟泊松流形与具有群值动量映射的拟哈密顿 G-流形之间的深刻等价关系，从而可通过融合与约化构造出表示簇上的泊松结构。

ABSTRACT

A quasi-Poisson manifold is a G-manifold equipped with an invariant bivector field whose Schouten bracket is the trivector field generated by the invariant element in $\wedge^3 \g$ associated to an invariant inner product. We introduce the concept of the fusion for such manifolds, and we relate quasi-Poisson manifolds to the previously introduced quasi-Hamiltonian manifolds with group-valued moment maps.

研究动机与目标

• 形式化并研究拟泊松流形的结构，即配备有满足特定舒坦 bracket 条件（涉及 Cartan 3-张量）的双向量场的 G-流形。
• 发展拟泊松流形的融合与约化理论，推广泊松几何中的构造方法。
• 建立非退化哈密顿拟泊松流形与具有群值动量映射的拟哈密顿 G-流形之间的精确对应关系。
• 将此对应关系应用于构造具有边界曲面 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ 的表示簇上的标准泊松结构。
• 引入并分析广义动力 r-矩阵，证明其满足广义经典动力杨-巴克斯特定律方程。

提出的方法

• 将拟泊松流形定义为具有不变双向量场 $P$ 的 G-流形 $M$，使得 $[P,P] = \phi_M$，其中 $\phi \in \wedge^3\mathfrak{g}$ 是由不变内积生成的 Cartan 3-张量。
• 引入拟泊松流形的融合概念，通过已有结构的乘积构造新结构。
• 为哈密顿拟泊松流形定义动量映射 $\Phi: M \to G$，并证明三元组 $(M,P,\Phi)$ 满足拟哈密顿 G-流形的公理。
• 利用横截定理证明每个哈密顿拟泊松流形均允许一个广义叶状分解为非退化叶。
• 构造广义动力 r-矩阵 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$，并通过投影与代数恒等式证明其满足广义经典动力杨-巴克斯特定律方程。
• 利用非退化哈密顿拟泊松流形与拟哈密顿 G-流形之间的等价性，通过约化一个 $G$ 的副本的融合积，推导出 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ 上的泊松结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一类新的 G-流形将泊松几何推广至包含群值动量映射的情形？
• RQ2 哈密顿拟泊松流形与具有群值动量映射的拟哈密顿 G-流形之间的确切关系是什么？
• RQ3 表示簇 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ 上的泊松结构能否通过几何约化过程导出？
• RQ4 Cartan 3-张量 $\phi \in \wedge^3\mathfrak{g}$ 在定义拟泊松条件 $[P,P] = \phi_M$ 中起什么作用？
• RQ5 广义动力 r-矩阵 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ 如何满足广义经典动力杨-巴克斯特定律方程？

主要发现

• 每个哈密顿拟泊松流形均允许一个广义叶状分解，其叶为非退化哈密顿拟泊松子流形。
• 每个非退化哈密顿拟泊松流形均携带一个不变 2-形式 $\omega$，使得 $(M,\omega,\Phi)$ 满足具有群值动量映射的拟哈密顿 G-流形的公理。
• 反之，每个具有群值动量映射的拟哈密顿 G-流形均携带一个与该动量映射相同的非退化拟泊松结构。
• 对于具有边界的定向曲面 $\Sigma$，其表示簇 $\operatorname{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ 上的泊松结构，可通过配备拟泊松结构的 $G$ 的副本的融合积的约化而导出。
• 广义动力 r-矩阵 $r^{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ 满足广义经典动力杨-巴克斯特定律方程，该结论通过在李代数中进行投影与代数恒等式推导得出。
• 群 $G$ 上的拟泊松双二次形式与环路群 $LG$ 的中心扩张的对偶李代数上的泊松双二次形式之间，通过涉及余切函数与留数和的极限过程相关联。