[论文解读] Quasi-polynomial time approximation schemes for the Maximum Weight Independent Set Problem in H-free graphs

Maria Chudnovsky, Marcin Pilipczuk+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 14

一句话总结

本文提出了在 H-自由图中最大权独立集问题的准多项式时间近似方案（QPTAS）和亚指数时间精确算法，其中 H 是路径与细分爪形图的不相交并集。该方法结合了结构图论与扩展条带分解上的动态规划，实现了在时间复杂度为 exp(poly(log n, 1/ε)) 的 (1−ε)-近似，以及在 2^O(n^{8/9} log n) 时间内的精确计算，解决了该类 H-自由图中广泛存在的复杂性开放问题。

ABSTRACT

In the Maximum Independent Set problem we are asked to find a set of pairwise nonadjacent vertices in a given graph with the maximum possible cardinality. In general graphs, this classical problem is known to be NP-hard and hard to approximate within a factor of $n^{1-\\varepsilon}$ for any $\\varepsilon > 0$. Due to this, investigating the complexity of Maximum Independent Set in various graph classes in hope of finding better tractability results is an active research direction. In $H$-free graphs, that is, graphs not containing a fixed graph $H$ as an induced subgraph, the problem is known to remain NP-hard and APX-hard whenever $H$ contains a cycle, a vertex of degree at least four, or two vertices of degree at least three in one connected component. For the remaining cases, where every component of $H$ is a path or a subdivided claw, the complexity of Maximum Independent Set remains widely open, with only a handful of polynomial-time solvability results for small graphs $H$ such as $P_5$, $P_6$, the claw, or the fork. We show that for every graph $H$ for which Maximum Independent Set is not known to be APX-hard and SUBEXP-hard in $H$-free graphs, the problem admits a quasi-polynomial time approximation scheme and a subexponential-time exact algorithm in this graph class. Our algorithm works also in the more general weighted setting, where the input graph is supplied with a weight function on vertices and we are maximizing the total weight of an independent set.

研究动机与目标

• 解决当 H 为路径与细分爪形图的不相交并集时，H-自由图中最大权独立集（MWIS）问题的复杂性差距。
• 为当问题未被证明为 APX-难或 SUBEXP-难时的 H-自由图中的 MWIS 提供高效算法。
• 在一类广泛的 H-自由图中，统一近似与精确计算的算法框架。
• 扩展先前工作，引入亚指数时间精确算法，而这一内容在早期 SODA 2020 摘要中并未包含。

提出的方法

• 利用结构图论识别 H-自由图中的诱导子结构，如爪形图与长臂图。
• 应用扩展条带分解将图划分为具有有界权重的原子，从而支持动态规划。
• 采用递归分解策略，分离高权重部分，并在低权重部分应用近似。
• 使用基于权重的剪枝技术，控制候选解的数量，确保准多项式时间复杂度。
• 将存在性引理（例如引理 6.5）与枚举相结合，构造有限的候选解族。
• 将动态规划与所得分解结构结合，并引入 (1−ε)-近似框架，实现 QPTAS。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 H 为路径与细分爪形图的不相交并集时，能否为 H-自由图中的 MWIS 设计准多项式时间近似方案？
• RQ2 能否在这样的 H-自由图中实现亚指数时间精确算法？
• RQ3 H-自由图的何种结构特性使得即使在 MWIS 一般为 NP-难的情况下，仍能实现高效近似与精确计算？
• RQ4 如何利用扩展条带分解来控制原子的权重并指导 H-自由图中的动态规划？
• RQ5 结构分解与近似技术的结合能否为该类图提供统一的算法框架？

主要发现

• 对于每个 H（为路径与细分爪形图的不相交并集），MWIS 均存在一个准多项式时间近似方案（QPTAS），其运行时间在 log|V(G)| 与 ε⁻¹ 的多项式函数的指数范围内。
• H-自由图中 MWIS 的精确算法运行时间在亚指数范围内，为 2^O(|V(G)|^{8/9} log|V(G)|)，优于以往的指数界。
• 该算法框架适用于加权情形，支持任意顶点权重。
• 该方法确保扩展条带分解中的每个原子的权重至多为 (1−σ³⁴)·w(G)，从而实现有效的剪枝。
• 所考虑的候选解数量被限制在 O(|V(G)|⁶) 以内，确保准多项式枚举。
• 该方法对任意 ε>0 均可实现 (1−ε)-近似，且运行时间对 ε⁻¹ 的依赖关系在 log|V(G)| 范围内为多项式。