[论文解读] Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions II

Mehmet Koca, Mudhahir Al Ajmi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过四元数表示的考克斯eter群对称性，构建了准正多面体及其对偶体——阿基米德立体与卡塔兰立体的推广。通过在三维空间中作用于特定向量，该方法生成了包含正三角形、正方形、正五边形以及异面正多边形（如正六边形和正十边形）的多面体，关键应用包括分子建模，例如具有交替键长的截角二十面体（其六边形面为异面正多边形）。

ABSTRACT

In this paper we construct the quasi regular polyhedra and their duals which are the generalizations of the Archimedean and Catalan solids respectively. This work is an extension of two previous papers of ours which were based on the Archimedean and Catalan solids obtained as the orbits of the Coxeter groups . When these groups act on an arbitrary vector in 3D Euclidean space they generate the orbits corresponding to the quasi regular polyhedra. Special choices of the vectors lead to the platonic and Archimedean solids. In general, the faces of the quasi regular polyhedra consist of the equilateral triangles, squares, regular pentagons as well as rectangles, isogonal hexagons, isogonal octagons, and isogonal decagons depending on the choice of the Coxeter groups of interest. We follow the quaternionic representation of the group elements of the Coxeter groups which necessarily leads to the quaternionic representation of the vertices. We note the fact that the molecule can best be represented by a truncated icosahedron where the hexagonal faces are not regular, rather, they are isogonal hexagons where single bonds and double bonds of the carbon atoms are represented by the alternating edge lengths of isogonal hexagons.

研究动机与目标

• 将阿基米德立体与卡塔兰立体推广为具有混合正多边形与异面正多边形面的准正多面体。
• 通过四元数表示群元素，扩展先前关于考克斯eter群轨道的研究。
• 建模分子结构（如富勒烯），其中六边形面因单双键交替而呈现异面正多边形特性。
• 通过三维空间中对称向量的选择，系统化构造准正多面体的对偶对。
• 证明非正多边形但具有异面正多边形对称性的面（如六边形、八边形）可自然地从群作用于选定向量中产生。

提出的方法

• 利用考克斯eter群（如 A3、B3、H3）在三维欧氏空间中选定向量上的作用，生成顶点轨道。
• 采用四元数代数表示考克斯eter群的元素，实现对顶点坐标的精确计算。
• 选择特定向量以生成包含正三角形、正方形、正五边形及异面正多边形的混合面类型的多面体。
• 通过对原多面体的顶点集应用对偶变换，构造其对偶多面体。
• 分析面的几何结构，识别异面正多边形对称性，即在对称群作用下顶点等价，即使边长交替。
• 通过验证：具有交替键长的截角二十面体与异面六边形面结构一致，从而验证模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从考克斯eter群对称性系统化生成具有混合正多边形与异面正多边形面的准正多面体？
• RQ2 四元数表示在构造这些多面体顶点坐标中起到何种作用？
• RQ3 在三维空间中选择特定向量如何导致异面六边形及其他非正多边形但对称的面的出现？
• RQ4 这些多面体结构在何种方式下能模拟真实分子体系（如具有交替键长的富勒烯）？
• RQ5 考克斯eter群的对称性与所生成多面体面的几何特性之间存在何种关系？

主要发现

• 考克斯eter群在选定向量上的顶点轨道生成了包含正三角形、正方形、正五边形及异面六边形的准正多面体。
• 具有交替边长的异面六边形自然出现在截角二十面体模型中，与 C60 富勒烯的成键模式一致。
• 四元数表示使得所构建多面体的所有顶点坐标能够被精确且高效地计算。
• 系统化地生成了准正多面体的对偶对，保持了对称性与对偶关系。
• 该方法通过允许非正多边形但具有异面正多边形对称性的面，推广了阿基米德与卡塔兰立体，扩展了对称多面体的类别。
• 该模型成功捕捉了富勒烯的几何现实：六边形面虽非正多边形，但因单双键交替而呈现异面正多边形对称性。