[论文解读] Quasi-regular representations and property RD

Adrien Boyer|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过 Banach 表示中矩阵系数的 $L^1$-可积性，以新方式刻画了性质 RD（快速衰减），特别针对半单李群中非一致格的准正则表示。研究证明，此类表示不满足性质 RD，也违反弱哈里什-钱德拉不等式，原因在于这些格中循环子群的指数增长。

ABSTRACT

We study \emph{property RD} in terms of rapid decay of matrix coefficients. We give new formulations of property RD in terms of a $L^{1}$-integra\-bility condition of a Banach representation. Combining this new definition with the existence of cyclic subgroups of exponential growth in non-uniform lattices in semisimple Lie groups, we deduce that there exist matrix coefficients associated to several kinds of quasi-regular representations which satisfy a "non-RD condition" for non-uniform lattices. We obtain also that such coefficients can not satisfy \emph{the weak inequality} of Harish-Chandra.

研究动机与目标

• 通过 Banach 空间表示中矩阵系数的 $L^1$-可积性条件，重新表述性质 RD。
• 研究半单李群中非一致格的准正则表示是否满足性质 RD。
• 确定此类表示的矩阵系数是否满足弱哈里什-钱德拉不等式。
• 将性质 RD 的失效与非一致格中循环子群的指数增长联系起来。
• 证明准正则表示中某些正的矩阵系数无法满足快速衰减或弱衰减估计。

提出的方法

• 引入由酉表示 $\pi: G \to U(\mathcal{H})$ 导出的 Banach 空间表示 $c: G \to U(\mathcal{L}^1(\mathcal{H}))$，定义为 $c(g)T = \pi(g)T\pi(g^{-1})$。
• 证明四个条件之间的等价性，涉及矩阵系数 $\langle c(g)S, T \rangle$ 的 $L^1$-可积性，以及 $\langle \pi(g)\xi, \eta \rangle$ 关于测度 $d\mu = dg / (1+L(g))^d$ 的 $L^2$-可积性。
• 利用 $L^2(G/H)$ 上准正则表示的正性，将性质 RD 条件简化为对正的 $\xi \in \mathcal{H}_+$，要求 $\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(g))^{d_\xi}$ 的可积性。
• 应用摩尔的遍历性定理，并利用 $G/H$ 上不存在有限 $G$-不变测度的事实，证明准正则表示 $\lambda_{G/H}|_\Gamma$ 没有非零不变向量。
• 利用非一致格中存在指数增长的循环子群的事实，当假设性质 RD 或弱哈里什-钱德拉衰减时，导出矛盾。
• 利用已知的 $\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$ 在半单李群上的可积性，证明假设弱衰减会导致与 $\sum \langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(\gamma))^{d_\xi}$ 发散性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 性质 RD 是否可以等价地通过 Banach 表示中矩阵系数的 $L^1$-可积性来刻画，而非通过算子范数估计？
• RQ2 半单李群中非一致格的准正则表示是否相对于长度函数满足性质 RD？
• RQ3 此类表示的矩阵系数是否满足弱哈里什-钱德拉不等式？
• RQ4 循环子群的指数增长在这些表示中快速衰减失效的过程中起什么作用？
• RQ5 在无有限不变测度的非紧致齐次空间上，由正表示引发的性质 RD 是否存在结构性障碍？

主要发现

• 对于酉表示 $\pi$，性质 RD 等价于在测度 $dg / (1+L(g))^d$ 下，单位向量 $S,T$ 属于 $\mathcal{L}^1(\mathcal{H})$ 时，矩阵系数 $\langle c(g)S, T \rangle$ 的 $L^1$-可积性。
• 对于 $L^2(X,m)$ 上的正表示，性质 RD 成立当且仅当对某个 $d_\xi \geq 1$ 及所有正的 $\xi \in \mathcal{H}_+$，有 $\int_G \frac{\langle \pi(g)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(g))^{d_\xi}} dg < \infty$。
• 半单李群 $G$ 中非一致格 $\Gamma$ 的准正则表示 $\lambda_{G/H}|_\Gamma$ 没有非零不变向量，这是由于 $G/H$ 上不存在有限 $G$-不变测度。
• 对于任意生成循环子群 $\mathbb{Z} \subset \Gamma$ 的无限阶幂零元 $u$，限制表示 $\lambda_{G/H}|_\mathbb{Z}$ 不满足性质 RD，因为对某个正的 $\xi \in \mathcal{H}_+$，有 $\sum_{\gamma \in \mathbb{Z}} \frac{\langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(\gamma))^{d_\xi}} = \infty$。
• 矩阵系数 $\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle$ 不满足弱哈里什-钱德拉不等式，因为假设其成立将与该级数的发散性及 $\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$ 在 $G$ 上的可积性矛盾。
• 性质 RD 和弱衰减的失效直接与非一致格中循环子群的指数增长相关，这阻止了矩阵系数衰减率的统一控制。