[论文解读] Quasi-regular representations of discrete groups and associated C*-algebras

Bachir Bekka, Mehrdad Kalantar|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文引入了可数离散群中的谱隙与弱抛物子群类，证明此类子群的准正则表示在弱等价下具有刚性，即其弱等价类与共轭类一致。研究进一步表明，此类表示生成的 C*-代数具有唯一的最小非零理想和最大的真理想，推广了 C*-单性准则，并扩展了迪克曼型逼近性质。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable group. We introduce several equivalence relations on the set ${\ m Sub}(G)$ of subgroups of $G$, defined by properties of the quasi-regular representations $\\lambda_{G/H}$ associated to $H\\in {\ m Sub}(G)$ and compare them to the relation of $G$-conjugacy of subgroups. We define a class ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ of subgroups (these are subgroups with a certain spectral gap property) and show that they are rigid, in the sense that the equivalence class of $H\\in {\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ for any one of the above equivalence relations coincides with the $G$-conjugacy class of $H$. Next, we introduce a second class ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ of subgroups (these are subgroups which are weakly parabolic in some sense) and we establish results concerning the ideal structure of the $C^*$-algebra $C^*_{\\lambda_{G/H}}(G)$ generated by $\\lambda_{G/H}$ for subgroups $H$ which belong to either one of the classes ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ and ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$. Our results are valid, more generally, for induced representations ${\ m Ind}_H^G \\sigma$, where $\\sigma$ is a representation of $H\\in {\ m Sub}(G)$.

研究动机与目标

• 理解何时两个准正则表示 λ_{G/H} 与 λ_{G/L} 是弱等价的，即它们在普林斯莫伊德空间 Prim(G) 中定义同一点。
• 定义并研究两类子群——具有谱隙性质的 Sub_{sg}(G) 与具有弱抛物结构的 Sub_{w-par}(G)——其表示生成的 C*-代数具有刚性与结构约束。
• 刻画由这些子群诱导表示生成的 C*-代数的理想结构，特别是识别最小理想与最大真理想。
• 推广已知的 C*-单性准则，并将迪克曼型逼近性质扩展至诱导表示。

提出的方法

• 在 Sub(G) 上引入等价关系 ∼_conj、∼_w-conj、∼_rep 与 ∼_w-rep，以比较准正则表示的共轭性与弱等价性。
• 将 Sub_{sg}(G) 定义为满足在 ℓ²(G/H) 的谱中，平凡表示 1_H 是孤立的子群 H，从而保证谱隙。
• 将 Sub_{w-par}(G) 定义为满足弱抛物条件的子群，该条件推广了李群中抛物子群的概念。
• 利用从 Sub(G) 到 Rep(G) 的映射 H ↦ λ_{G/H} 关于恰巴蒂与费尔拓扑的连续性，分析准轨道结构。
• 应用 Haagerup 与 Glimm–Thoma 的结果，分析由诱导表示 π = Ind_H^G σ 生成的 C*-代数 C*_{π}(G) 的可迹性与理想结构。
• 为 Sub_{w-par}(G) 中的表示建立迪克曼逼近性质，证明其共轭平均可在有限集上被一致地缩小。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可数离散群 G，何时两个准正则表示 λ_{G/H} 与 λ_{G/L} 成为弱等价？
• RQ2 对于哪些子群 H ∈ Sub(G)，λ_{G/H} 的弱等价类与其 G-共轭类一致？
• RQ3 对于具有谱隙或弱抛物结构的子群 H，C*-代数 C*_{λ_{G/H}}(G) 的理想结构是什么？
• RQ4 能否将 G 的 C*-单性准则推广至来自 Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G) 中子群的诱导表示？
• RQ5 由 Sub_{sg}(G) 中子群诱导的表示生成的 C*-代数是否包含唯一的最小非零理想？

主要发现

• 属于 Sub_{sg}(G) 的子群具有刚性：其 ∼_w-rep 等价类与 G-共轭类一致。
• 对于 H ∈ Sub_{sg}(G)，由 π = Ind_H^G σ 生成的 C*-代数 C*_{π}(G) 包含唯一的最小非零理想 I_min。
• 对于 H ∈ Sub_{w-par}(G)，C*-代数 C*_{λ_{G/H}}(G) 是单的，当且仅当 G 是 C*-单的，从而推广了已知准则。
• 正则表示 λ_G 可延拓至 C*_{π}(G)，其核等于最大的真理想，从而诱导出一个典范商表示。
• 对于 π = Ind_H^G σ 且 H ∈ Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G)，存在一个极小表示 π_min，使得对所有满足 ρ ≺ π 且 ρ ̸∼ π 的 ρ，均有 λ_G ≺ ρ ≺ π_min ≺ π。
• 例如，当 G = PSL_n(ℤ)，H = PSL_{n-1}(ℤ) 且 n ≥ 3 时，该对属于 Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G)，表明该理论适用于算术群。