[论文解读] Quasi-regular Sasakian and K-contact structures on Smale-Barden manifolds

Alejandro Cañas, Vicente Muñoz+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过在奇异轨道丛上构建拟正则 Seifert 纤维丛，构造了具有拟正则 Sasaki 结构但不具有半正则 K-接触结构的 Smale-Barden 5-流形。这是首个具有拟正则 Sasaki 结构但无半正则 K-接触结构的流形示例，并通过具有循环奇点和平凡轨道丛基本群的轨道丛 K3 表面对 5-流形上的零 Sasaki 结构进行了分类。

ABSTRACT

Smale-Barden manifolds are simply-connected closed 5-manifolds. It is an important and difficult question to decide when a Smale-Barden manifold admits a Sasakian or a K-contact structure. The known constructions of Sasakian and K-contact structures are obtained mainly by two techniques. These are either links (Boyer and Galicki), or semi-regular Seifert fibrations over smooth orbifolds (Kollár). Recently, the second named author of this article started the systematic development of quasi-regular Seifert fibrations, that is, over orbifolds which are not necessarily smooth. The present work is devoted to several applications of this theory. First, we develop constructions of a Smale-Barden manifold admitting a quasi-regular Sasakian structure but not a semi-regular K-contact structure. Second, we determine all Smale-Barden manifolds that admit a null Sasakian structure. Finally, we show a counterexample in the realm of cyclic Kähler orbifolds to the algebro-geometric conjecture that claims that for an algebraic surface with $b_1=0$ and $b_2>1$ there cannot be $b_2$ smooth disjoint complex curves of genus g>0 spanning the (rational) homology.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：是否存在具有拟正则 Sasaki 结构但无半正则 K-接触结构的 Smale-Barden 流形。
• 通过发展奇异轨道丛上拟正则 Seifert 纤维丛的理论，将 5-流形上 Sasaki 与 K-接触结构的分类从半正则情形推广至更一般情形。
• 通过分析具有循环奇点和平凡轨道丛基本群的轨道丛 K3 表面，对单连通 5-流形上的零 Sasaki 结构进行分类。
• 利用循环凯勒轨道丛，构造一个代数几何猜想的反例，该猜想涉及在 b₁=0 且 b₂>1 的曲面上，最多可存在多少条不相交的亏格 g 曲线。

提出的方法

• 利用具有非光滑奇点的凯勒轨道丛上的拟正则 Seifert 纤维丛，推广了 Kollár 研究的半正则情形。
• 将一个 5-流形 M 构造为一个具有 A₁₉ 奇点的 K3 表面 X 上的 Seifert 纤维丛，该 X 由将 K3 表面 X′ 上的 19 条 (−2)-曲线收缩而成。
• 通过验证纤维配置上的拓扑条件 (Z1) 和 (Z2)，利用定理 41 确保轨道丛基本群 π₁^orb(X) = 1。
• 应用定理 13，利用 H²(X−P, ℤ) 中的本原凯勒类在 M 上构造 Sasaki 结构，确保 Reeb 流为拟正则。
• 利用 H₁(M, ℤ) = 0 和 π₁^orb(X) = 1 推出 M 是单连通的，且微分同胚于 #₂(S²×S³)。
• 通过分析具有 A 型构型的极小椭圆 K3 纤维丛，利用轨道丛不变量和 Mordell-Weil 群消失性对零 Sasaki 结构进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有拟正则 Sasaki 结构但无半正则 K-接触结构的 Smale-Barden 流形？
• RQ2 能否通过具有循环奇点和平凡轨道丛基本群的轨道丛 K3 表面，对 5-流形上的零 Sasaki 结构进行分类？
• RQ3 是否存在一个反例，以推翻代数几何中的一个猜想：即对于 b₁=0 且 b₂>1 的曲面，不可能存在 b₂ 条不相交的光滑亏格 g 曲线（g>0）且张成有理同调？
• RQ4 拟正则 Seifert 纤维丛在奇异轨道丛上的理论能否产生通过半正则纤维丛无法获得的新 Sasaki 5-流形示例？
• RQ5 具有循环轨道丛奇点的 K3 表面在满足 Seifert 纤维丛具有平凡基本群和 Sasaki 结构时，其拓扑与几何约束是什么？

主要发现

• 本文构造了一个具有拟正则 Sasaki 结构但无任何半正则 K-接触结构的 Smale-Barden 流形，正面回答了问题 1。
• 所构造的流形微分同胚于 #₂(S²×S³)，满足 H₁(M, ℤ) = 0 且 π₁(M) = 1，其为具有 A₁₉ 奇点的 K3 表面上的 Seifert 纤维丛。
• 轨道丛底空间 X 满足 b₂(X) = 3，π₁^orb(X) = 1，且由将具有 Kodaira 型 I₁₉ 纤维的 K3 表面 X′ 上的 19 条 (−2)-曲线收缩而成。
• H²(X−P, ℤ) 中存在本原凯勒类，确保定理 13 的适用性，从而在 M 上诱导出 Sasaki 结构。
• 本文通过构造一个具有 b₂ = 3 且包含 20 条不相交 (−2)-曲线的循环凯勒轨道丛 K3 表面，提供了对文献 [23] 中猜想的反例，违反了预期的上界。
• 通过具有循环奇点和平凡轨道丛基本群的轨道丛 K3 表面，对 #₂(S²×S³) 上的零 Sasaki 结构进行了分类，且该分类可归约为具有 A 型构型的极小椭圆纤维丛。